圆周角定理与泰勒斯半圆推论

第一步（从顶点引直径并利用等腰三角形）。作经过顶点与圆心的直径 $CD$。由于两条半径长度相等 $OA = OC = R$，三角形 $\triangle OAC$ 是以圆心为顶点的等腰三角形，因此它的两个底角相等：$\angle OCA = \angle OAC$。

第二步（对左右两半应用外角定理）。圆心处的外角等于两个不相邻内角之和，从而得出 $\angle AOD = \angle OCA + \angle OAC = 2\angle OCA$。对 $\triangle OBC$ 应用完全相同的等腰三角形论证，可得 $\angle BOD = 2\angle OCB$。

第三步（合并两半并导出泰勒斯定理）。将两个圆心角相加（当圆心位于圆周角外部时则相减），得到 $\angle AOB = \angle AOD + \angle BOD = 2(\angle OCA + \angle OCB) = 2\angle ACB$。在弦为直径的特殊情况下，圆心角为平角（$\angle AOB = 180^\circ$），立即给出泰勒斯半圆定理 $\angle ACB = \dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$。