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9 年级

圆

到定点距离相等的点的集合,以及圆的切线、弦与内接角。

直观一个圆心、固定半径与恒定角度的惊喜

把一根长为 R>0R > 0 的拉紧细绳一端固定在定点 OO，另一端在平面上旋转一周：所画出的曲线就是圆 (O,R)(O, R)，它是平面几何中对称性最高的图形。连接圆上两点的任意线段称为弦 ABAB，而与圆仅有一个公共点的直线称为切线。在这一简单定义背后隐藏着一个奇妙的几何惊喜：如果你站在优弧上的任意一点 CC 观察这条弦，你的视角（圆周角）恒等于圆心角 ∠AOB\angle AOB 的恰好一半，即 ∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB——无论你沿着这段弧移动到哪里都保持不变！特别地，当弦是直径（圆心角为 180∘180^\circ）时，泰勒斯定理保证半圆上的每一点都形成直角 ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ。请使用下方的交互式单位圆，探索绕圆心旋转一点时其圆心角与坐标的变化规律。

展示圆周上一点、半径与圆心角的交互式单位圆。
绕圆心 OO 以圆心角 θ\theta 在单位圆上旋转的点及其坐标 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)。

中学弦、切线、圆周角与圆幂定理

定义: 圆、弦、切线与圆周角

圆 (O,R)(O, R) 是平面上到圆心的距离满足 OM=ROM = R 的所有点的集合。过圆心且垂直于弦的直线必平分该弦（OM⊥AB  ⟺  MA=MBOM \perp AB \iff MA = MB），且切点处的切线必垂直于半径（OT⊥dOT \perp d）。同弧所对的任意圆周角 ∠ACB\angle ACB 恒等于圆心角 ∠AOB\angle AOB 的一半：

∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB

当弦为直径时，圆心角为 ∠AOB=180∘\angle AOB = 180^\circ，因此泰勒斯半圆定理给出半圆上的每一点都满足 ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ。此外，每当过一点 PP（无论在圆内还是圆外）的两条直线沿弦 ABAB 与 CDCD 与圆相交时，从该交点出发的线段长度之积恒为常数（圆幂定理）：

PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD
圆几何的基本定理
几何配置几何条件核心关系式
从圆心到弦 ABAB 的垂线弦上的垂足 MMOM⊥AB  ⟺  MA=MBOM \perp AB \iff MA = MB, R2=OM2+MA2R^2 = OM^2 + MA^2
从圆外一点 PP 引出的切线圆上的切点 T1,T2T_1, T_2OT1⊥PT1OT_1 \perp PT_1 且 PT1=PT2PT_1 = PT_2
弧 ABAB 所对的圆周角圆上顶点 CC，圆心 OO∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB
以直径 ABAB 为底的泰勒斯半圆AB=2RAB = 2R 经过圆心 OO∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ
点 PP 的圆幂两条直线 PABPAB 与 PCDPCD 与圆相交PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD

大学两个核心定理及其证明

定理: 圆周角定理与泰勒斯半圆推论

对于圆 (O,R)(O, R) 上的任意三点，圆周角等于同弧所对圆心角的一半：∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB。特别地，当弦 ABAB 是直径时，它所对的每个圆周角都是直角（∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ）。

为什么成立?

由于圆的所有半径长度完全相等，将圆心与三个顶点相连会把图形分割为等腰三角形；对这些等腰三角形应用外角定理，圆周角的每一半都会立即加倍成为圆心角的相应部分。

证明

第一步（从顶点引直径并利用等腰三角形）。作经过顶点与圆心的直径 CDCD。由于两条半径长度相等 OA=OC=ROA = OC = R，三角形 △OAC\triangle OAC 是以圆心为顶点的等腰三角形，因此它的两个底角相等：∠OCA=∠OAC\angle OCA = \angle OAC。

第二步（对左右两半应用外角定理）。圆心处的外角等于两个不相邻内角之和，从而得出 ∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA\angle AOD = \angle OCA + \angle OAC = 2\angle OCA。对 △OBC\triangle OBC 应用完全相同的等腰三角形论证，可得 ∠BOD=2∠OCB\angle BOD = 2\angle OCB。

第三步（合并两半并导出泰勒斯定理）。将两个圆心角相加（当圆心位于圆周角外部时则相减），得到 ∠AOB=∠AOD+∠BOD=2(∠OCA+∠OCB)=2∠ACB\angle AOB = \angle AOD + \angle BOD = 2(\angle OCA + \angle OCB) = 2\angle ACB。在弦为直径的特殊情况下，圆心角为平角（∠AOB=180∘\angle AOB = 180^\circ），立即给出泰勒斯半圆定理 ∠ACB=12⋅180∘=90∘\angle ACB = \dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ。

定理: 圆幂定理（相交弦与割线定理）

若过点 PP 的两条直线与圆交于弦 ABAB 与 CDCD 的端点，则从该点出发的线段长度之积相等：PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD。当该点位于圆外且向圆引一条切线段时，切线长的平方满足 PT2=PA⋅PBPT^2 = PA \cdot PB。

为什么成立?

尽管圆是曲线，圆周角定理却将相交弦所构成的两个三角形的角度牢牢锁定为相等，从而使这两个三角形相似；把对应边的比例式交叉相乘，就将长度之比转化为了恒定不变的乘积。

证明

第一步（连接弦的端点构成两个三角形）。用线段 ACAC 与 BDBD 连接各端点，构成两个三角形 △PAC\triangle PAC 与 △PDB\triangle PDB。

第二步（利用圆周角证明两个三角形相似）。因为同弧所对的圆周角相等，故有 ∠CAP=∠BDP\angle CAP = \angle BDP。此外，交点处的角也相等（当点在圆内时为对顶角，当点在圆外时为公共角）：∠APC=∠DPB\angle APC = \angle DPB。由两角对应相等（AA）相似判定，得 △PAC∼△PDB\triangle PAC \sim \triangle PDB。

第三步（列出对应边比例式并交叉相乘）。由两个三角形相似得到对应边之比 PAPD=PCPB\dfrac{PA}{PD} = \dfrac{PC}{PB}。两边交叉相乘即得 PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD。

大学实际应用与典型例题

圆几何是土木工程、航海、光学和天文学的基石。考古学家和机械师只需测量一块残片上的弦及其垂直平分线 OM⊥ABOM \perp AB，再结合勾股关系 R2=OM2+MA2R^2 = OM^2 + MA^2，就能从一块碎片还原出破损车轮、管道或圆盘的半径。在 GPS 问世之前，近海领航员利用圆周角定理 ∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB 驾驶船只沿着对两座灯塔张角恒定的安全圆弧航行（并利用泰勒斯半圆 ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ 判断船只是否驶入了暗礁周围的危险圆）。在球形地球或卫星通信中，切线与割线的圆幂公式 PT2=PA⋅PBPT^2 = PA \cdot PB 给出了从特定高度的海岸塔台或航天器到可见地平线的精确距离。

例题: 求圆形管道内水面的宽度

在半径 R=10R = 10 cm 的圆形截面 (O,R)(O, R) 水管中，平坦的水面形成一条水平弦 ABAB，它到圆心的垂直距离为 OM=6OM = 6 cm。求水面的精确宽度。

解答

第一步：利用过圆心的垂线平分弦。因为从圆心引出的线段与弦垂直（OM⊥ABOM \perp AB），其垂足即为弦的中点，故 MA=MBMA = MB。

第二步：在直角三角形 △OMA\triangle OMA 中应用勾股定理。由于斜边是半径，一条直角边是到圆心的距离，半弦满足 MA2=R2−OM2=102−62=100−36=64MA^2 = R^2 - OM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64。

第三步：将半弦加倍求得总宽度。开平方得 MA=64=8MA = \sqrt{64} = 8 cm，因此水面的总宽度为 AB=2⋅MA=2⋅8=16AB = 2 \cdot MA = 2 \cdot 8 = 16 cm。

例题: 利用相交弦定理求缺失的步道段长度

在一个圆形广场内，两条笔直的砖铺步道构成弦 ABAB 与 CDCD，并在点 PP 处相交。测量员测得 PA=4PA = 4 m、PB=9PB = 9 m 和 PC=6PC = 6 m。求剩余步道段 PDPD 的长度。

解答

第一步：写出相交弦方程。根据圆内两条相交弦的圆幂定理，各线段长度满足 PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD。

第二步：代入三个已知长度。将给定数值代入方程得 4⋅9=6⋅PD4 \cdot 9 = 6 \cdot PD，化简为 36=6⋅PD36 = 6 \cdot PD。

第三步：解出未知线段。两边同除以系数得 PD=366=6PD = \dfrac{36}{6} = 6 m。

点 AA、BB、CC 在以 OO 为圆心的圆上。若弧 ABAB 所对的圆心角为 ∠AOB=110∘\angle AOB = 110^\circ，则同弧所对的圆周角 ∠ACB\angle ACB 的度数是多少？

在半径 R=13R = 13 cm 的圆中，一条弦的长度为 AB=24AB = 24 cm。从圆心 OO 到该弦的垂直距离 OMOM 是多少？

线段 ABAB 是圆的一条直径，CC 是圆上一点且满足 ∠CAB=35∘\angle CAB = 35^\circ。求 ∠ABC\angle ABC 的度数。

从圆外一点 PP 向圆引一条长为 PT=6PT = 6 cm 的切线 PTPT 和一条割线 PABPAB，已知 PA=4PA = 4 cm。求从 PP 到远端交点的距离 PBPB。

参考文献

  1. Euclid (trans. Thomas L. Heath) (1956). Euclid's Elements (Books I–XIII)
  2. H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1967). Geometry Revisited