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定理已证明

圆幂定理（相交弦与割线定理）

命题陈述

若过点 PP 的两条直线与圆交于弦 ABAB 与 CDCD 的端点，则从该点出发的线段长度之积相等：PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD。当该点位于圆外且向圆引一条切线段时，切线长的平方满足 PT2=PA⋅PBPT^2 = PA \cdot PB。

为什么成立?

尽管圆是曲线，圆周角定理却将相交弦所构成的两个三角形的角度牢牢锁定为相等，从而使这两个三角形相似；把对应边的比例式交叉相乘，就将长度之比转化为了恒定不变的乘积。

证明思路

第一步（连接弦的端点构成两个三角形）。用线段 ACAC 与 BDBD 连接各端点，构成两个三角形 △PAC\triangle PAC 与 △PDB\triangle PDB。

第二步（利用圆周角证明两个三角形相似）。因为同弧所对的圆周角相等，故有 ∠CAP=∠BDP\angle CAP = \angle BDP。此外，交点处的角也相等（当点在圆内时为对顶角，当点在圆外时为公共角）：∠APC=∠DPB\angle APC = \angle DPB。由两角对应相等（AA）相似判定，得 △PAC∼△PDB\triangle PAC \sim \triangle PDB。

第三步（列出对应边比例式并交叉相乘）。由两个三角形相似得到对应边之比 PAPD=PCPB\dfrac{PA}{PD} = \dfrac{PC}{PB}。两边交叉相乘即得 PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD。

用到此定理的主题

圆

分步证明

该定理暂无分步证明。

参考文献

  1. Euclid (trans. Thomas L. Heath) (1956). Euclid's Elements (Books I–XIII)
  2. H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1967). Geometry Revisited