爱因斯坦光线偏折公式

第一步（光的轨道方程）。 对限制在赤道面上的零测地线，用与光子球相同的守恒量 $E=(1-r_s/r)c^2\dot t$ 和 $L=r^2\dot\phi$，代入 $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0$，并将对 $\tau$ 的导数转换为 $u\equiv1/r$ 对 $\phi$ 的导数（利用 $\dot r = -L\,du/d\phi$），再求一次导后得到标准的光线弯曲轨道方程 $$\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{3r_s}{2}u^2, \qquad u\equiv\frac1r$$

第二步（零阶：直线）。 去掉右边项（令 $r_s=0$，平直时空）得到 $u_0''+u_0=0$，其在 $\phi=\pi/2$ 处以最近距离 $b$ 通过的解是直线 $$u_0(\phi) = \frac{\sin\phi}{b}$$——这是极坐标形式下未偏折的路径。

第三步（一阶微扰）。 写出 $u=u_0+r_s u_1$ 并代入第一步的方程，只保留关于 $r_s$ 的线性项；$u_0''+u_0=0$ 部分抵消，剩下 $u_1$ 满足的受迫线性振子方程：$$u_1''+u_1 = \frac{3}{2b^2}\sin^2\phi$$ 一个与最近点两侧对称弯曲相匹配的特解是 $$u_1(\phi) = \frac{1}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$，因此完整的一阶轨迹为 $$u(\phi) = \frac{\sin\phi}{b} + \frac{r_s}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$

第四步（提取总偏折角）。 平直空间中 $u\to0$ 恰好发生在 $\phi=0$ 和 $\phi=\pi$ 处；有了 $r_s$ 修正后，$u\to0$ 发生在 $\phi=-\delta_1$ 和 $\phi=\pi+\delta_2$ 处，$\delta_1,\delta_2$ 为小量。将 $u(-\delta_1)=0$ 对 $\delta_1$ 和 $r_s$ 展开到一阶，得到 $-\delta_1/b+r_s/b^2=0$，故 $\delta_1=r_s/b$；对另一端做相同计算得 $\delta_2=r_s/b$。出射渐近线偏离与入射渐近线严格反向的总角度为 $$\Delta\phi = \delta_1+\delta_2 = \frac{2r_s}{b} = \frac{4GM}{c^2 b}$$，代回 $r_s=2GM/c^2$ 即得所要证明的公式。