黑洞的几何

把径向运动想象成一个球在一维势阱 $V_{\text{eff}}(r)$ 中滚动：圆轨道位于势阱平坦之处（$dV_{\text{eff}}/dr=0$），且只有在势阱向上弯曲（$d^2V_{\text{eff}}/dr^2>0$）而非向下弯曲之处才稳定。由于相对论性势中多出了一个牛顿引力所没有的 $1/r^3$ 项，势阱在靠近黑洞处会出现一个极大值——在该半径以内根本不存在任何稳定圆轨道，无论粒子转动多快；物质只会直接坠落进去。

第一步（守恒量与径向方程）。 沿限制在赤道面 $\theta=\pi/2$ 上的任意测地线（类时 $\kappa=-c^2$，或零测地线 $\kappa=0$），度规不依赖于 $t$ 和 $\phi$ 给出两个守恒量 $\tilde E = (1-r_s/r)c^2\dot t$ 和 $\tilde L = r^2\dot\phi$（点 $=d/d\tau$）。将其代入归一化条件 $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=\kappa$ 并化简，对类时运动得到 $$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \tilde E^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(c^2+\frac{\tilde L^2}{r^2}\right) \equiv \tilde E^2 - V^2_{\text{eff}}(r)$$

第二步（圆轨道条件）。 展开得到 $$V^2_{\text{eff}}(r) = c^2 - \frac{c^2 r_s}{r} + \frac{\tilde L^2}{r^2} - \frac{\tilde L^2 r_s}{r^3}$$ 圆轨道要求 $r$ 恒定，即任意时刻都有 $dr/d\tau=0$，这要求 $\tilde E^2=V^2_{\text{eff}}(r)$ 且（为使 $r$ 不发生漂移）$dV^2_{\text{eff}}/dr=0$：$$\frac{d}{dr}V^2_{\text{eff}} = \frac{c^2 r_s}{r^2} - \frac{2\tilde L^2}{r^3} + \frac{3\tilde L^2 r_s}{r^4} = 0$$

第三步（解出圆轨道的角动量）。 两边乘以 $r^4$ 并解出 $\tilde L^2$，得到维持半径 $r$ 处圆轨道所需的角动量：$$\tilde L^2(r) = \frac{c^2 r_s r^2}{2r-3r_s}$$ 这已经包含了光子球的信息：当 $r\to (3/2)r_s$ 从上方趋近时，分母 $2r-3r_s\to0^+$，$\tilde L^2\to+\infty$——没有任何有限角动量能在如此靠近处维持圆轨道，这正是下面达到的无质量（光子）极限。

第四步（边缘稳定性——ISCO）。 当 $r$ 从无穷远减小时，$\tilde L^2(r)$ 先减小，达到极小值，然后在 $r=3r_s/2$ 处发散；圆轨道稳定当且仅当进一步缩小 $r$ 需要增大 $\tilde L^2$（即稳定性由 $d\tilde L^2/dr$ 的符号决定）。对第三步的结果求导，$$\frac{d\tilde L^2}{dr} = \frac{2c^2 r_s\,r(r-3r_s)}{(2r-3r_s)^2}$$ 它在 $r=0$（排除）、$r=3r_s$ 处为零，在 $r>3r_s/2$ 范围内再无其他零点。这个唯一的内部根就是边缘稳定半径：$$r_{\text{ISCO}} = 3r_s = \dfrac{6GM}{c^2}$$ 当 $r>3r_s$ 时轨道稳定（$d\tilde L^2/dr>0$，与开普勒问题一样，$r$ 越大需要的角动量越大）；当 $3r_s/2<r<3r_s$ 时轨道不稳定。

第五步（由零测地线得到光子球）。 对零测地线，令 $\kappa=0$ 作同样代换，得到 $$\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 = E^2 - \frac{L^2}{r^2}\left(1-\frac{r_s}{r}\right) \equiv E^2 - V^2_{\gamma}(r)$$，其中 $$V^2_\gamma(r) = L^2\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right)$$。令括号内表达式的导数为零，$$\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right) = -\frac{2}{r^3}+\frac{3r_s}{r^4}=0 \;\Longrightarrow\; r=\frac{3r_s}{2}$$ 直接给出圆形光子轨道的唯一半径，$$r_{\text{ph}} = \dfrac{3}{2}r_s = \dfrac{3GM}{c^2}$$，与第三步得到的极限一致；它是不稳定的，因为括号 $1/r^2-r_s/r^3$ 在该处取局部极大值而非极小值——任何向内的扰动都会使光子螺旋坠入视界，任何向外的扰动都会使它逃逸到无穷远。

牛顿引力若被当作作用在高速粒子上的力来处理，会预言一定的偏折，但它只考虑了时间的曲率（质量附近时钟变慢）。广义相对论额外加入了来自空间曲率的等量贡献（质量附近的尺子沿径向收缩），两种效应相加，使偏折角加倍——正是这个数值因子让1919年日食观测队得以区分爱因斯坦理论与牛顿理论。

第一步（光的轨道方程）。 对限制在赤道面上的零测地线，用与光子球相同的守恒量 $E=(1-r_s/r)c^2\dot t$ 和 $L=r^2\dot\phi$，代入 $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0$，并将对 $\tau$ 的导数转换为 $u\equiv1/r$ 对 $\phi$ 的导数（利用 $\dot r = -L\,du/d\phi$），再求一次导后得到标准的光线弯曲轨道方程 $$\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{3r_s}{2}u^2, \qquad u\equiv\frac1r$$

第二步（零阶：直线）。 去掉右边项（令 $r_s=0$，平直时空）得到 $u_0''+u_0=0$，其在 $\phi=\pi/2$ 处以最近距离 $b$ 通过的解是直线 $$u_0(\phi) = \frac{\sin\phi}{b}$$——这是极坐标形式下未偏折的路径。

第三步（一阶微扰）。 写出 $u=u_0+r_s u_1$ 并代入第一步的方程，只保留关于 $r_s$ 的线性项；$u_0''+u_0=0$ 部分抵消，剩下 $u_1$ 满足的受迫线性振子方程：$$u_1''+u_1 = \frac{3}{2b^2}\sin^2\phi$$ 一个与最近点两侧对称弯曲相匹配的特解是 $$u_1(\phi) = \frac{1}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$，因此完整的一阶轨迹为 $$u(\phi) = \frac{\sin\phi}{b} + \frac{r_s}{2b^2}\left(1+\cos^2\phi\right)$$

第四步（提取总偏折角）。 平直空间中 $u\to0$ 恰好发生在 $\phi=0$ 和 $\phi=\pi$ 处；有了 $r_s$ 修正后，$u\to0$ 发生在 $\phi=-\delta_1$ 和 $\phi=\pi+\delta_2$ 处，$\delta_1,\delta_2$ 为小量。将 $u(-\delta_1)=0$ 对 $\delta_1$ 和 $r_s$ 展开到一阶，得到 $-\delta_1/b+r_s/b^2=0$，故 $\delta_1=r_s/b$；对另一端做相同计算得 $\delta_2=r_s/b$。出射渐近线偏离与入射渐近线严格反向的总角度为 $$\Delta\phi = \delta_1+\delta_2 = \frac{2r_s}{b} = \frac{4GM}{c^2 b}$$，代回 $r_s=2GM/c^2$ 即得所要证明的公式。

在广义相对论中，引力总是使光线会聚而非发散（这正是能量条件所刻画的内容）；因此在某个闭合曲面上已经两侧都在会聚的光线束会持续会聚，而几何上会聚的光线必然相交——但在一个性质良好、整体双曲的时空内部，两条光线相交（共轭点）若不为该光线的存在制造一个边界，就无法自洽。该定理把这种会聚的直觉转化为一个严格的不等式（雷查德胡里方程）和一个整体拓扑障碍。

第一步（用符号表述囚陷面）。 设 $S$ 是一个闭合的类空二维曲面，$\theta$ 表示从 $S$ 正交出发的零测地线束的膨胀率——即光束横截面积增长的相对速率。远离任何质量处，外向光束膨胀（$\theta_{\text{out}}>0$），内向光束收缩（$\theta_{\text{in}}<0$）。若在整个 $S$ 上反而有 $\theta_{\text{out}}<0, \qquad \theta_{\text{in}}<0$，则称 $S$ 是囚陷的：即使是向外的光也在被拖向内部。

第二步（雷查德胡里方程）。 沿切向量为 $k^a$ 的零测地同余族，对膨胀率的定义 $\theta=\nabla_a k^a$ 求导，并利用黎曼张量的定义交换导数次序，得到精确的运动学恒等式 $$\frac{d\theta}{d\lambda} = -\frac{\theta^2}{2} - \sigma_{ab}\sigma^{ab} - R_{ab}k^ak^b$$，其中 $\sigma_{ab}$ 是该同余族的剪切张量。这个方程纯粹是几何性的——在假设任何物理之前，它由曲率的定义得出，说明任何一族光线必然如何弯曲。

第三步（能量条件迫使进一步会聚）。 物理上合理的物质满足零能量条件 $$R_{ab}k^ak^b \ge 0$$，且剪切项 $\sigma_{ab}\sigma^{ab}\ge0$ 恒成立（它是平方和）；从第二步恒等式右边去掉这两个非负项，得到不等式 $$\frac{d\theta}{d\lambda} \le -\frac{\theta^2}{2}$$

第四步（里卡蒂不等式迫使在有限时间内发散）。 在囚陷面上，$\lambda=0$ 时 $\theta_0<0$。只要 $\theta$ 保持为负，将不等式除以 $\theta^2>0$ 并整理，得到 $$\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\theta}\right) \ge \frac12 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\theta(\lambda)} \ge \frac{1}{\theta_0}+\frac{\lambda}{2}$$ 由于右边随 $\lambda$ 增大而无界增长，而 $1/\theta$（为负）必须满足此下界，$1/\theta$ 被迫趋向 $0^-$，即在某个有限仿射参数 $\lambda_*\le 2/|\theta_0|$ 处 $\theta\to-\infty$：与 $S$ 正交的零测地同余族必须在有限仿射时间内出现共轭点（散焦面，相邻光线在此相交）。

第五步（从局部会聚到整体不完备）。 因果结构理论的一个标准结果（此处引用但不重新推导）表明，整体双曲时空中的零测地线在经过共轭点之后不能保持因果边界性（不能停留在某集合未来的边界上）。结合非紧的柯西曲面，这就排除了测地线回环或以通常方式终止的可能，从而迫使至少一条与 $S$ 正交的零测地线未来不完备：它无法延伸到任意大的仿射参数。根据定义，这种不完备性正是彭罗斯所说的奇点——该定理表明，只要囚陷面形成，无需任何对称性假设，奇点就必然出现。