法尔廷斯定理(莫德尔猜想)

第一步(从曲线到阿贝尔簇)。给 $C$ 配上它的雅可比簇 $J$——一个 $g$ 维阿贝尔簇,一旦固定一个有理点,便可通过阿贝尔–雅可比嵌入包含 $C$。$C$ 的有理点对应于 $J$ 的有理点,帕尔申(Parshin)在1968年的构造把「$C$ 上存在无穷多个互不相同的有理点」这一假设,转化为存在无穷多个两两不同构、定义在 $\mathbb{Q}$ 上的 $g$ 维阿贝尔簇,它们都在只依赖于 $C$ 的一个固定有限素数集合 $S$ 之外具有好约化。

第二步(沙法列维奇有限性猜想)。沙法列维奇猜想:固定 $g$ 和有限集合 $S$ 后,$\mathbb{Q}$ 上在 $S$ 之外具有好约化的 $g$ 维主极化阿贝尔簇,同构类只有有限多个。法尔廷斯用阿拉克洛夫理论证明了这一点:他在这类阿贝尔簇的模空间上构造了一个高度函数(法尔廷斯高度),证明这个高度在同源映射下以可控方式变化,再利用在 $S$ 之外无分歧的数域的有限性,以及高度理论和半稳定约化的估计,将其界定为有界。固定维数的模空间中高度有界,就迫使同构类有限。

第三步(矛盾结束论证)。第一步在「$C$ 有无穷多个有理点」这一错误假设下,产生了无穷多个互不同构的阿贝尔簇;第二步表明这样的阿贝尔簇只能有有限多个。要避免这一矛盾,唯一的办法就是最初的假设是错误的,因此 $C$ 只有有限多个有理点:$|C(\mathbb{Q})| < \infty$。