算术几何

第一步(在二次环中分解)。在唯一分解整环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$(它像普通整数一样具有欧几里得算法)中,把 $y^2 = x^3 - 2$ 改写为 $x^3 = y^2 + 2 = (y+\sqrt{-2})(y-\sqrt{-2})$。

第二步(两个因子互素)。$y+\sqrt{-2}$ 与 $y-\sqrt{-2}$ 的任何公因子 $\delta$ 也整除它们的差 $2\sqrt{-2} = -(\sqrt{-2})^3$。如果 $\sqrt{-2}$ 同时整除两个因子,那么 $2$ 就会整除 $y^2+2 = x^3$,迫使 $x$ 从而 $y$ 都是偶数;但此时 $x^3$ 是 $8$ 的倍数,而 $y^2+2 \equiv 2 \pmod 4$,矛盾。因此 $y+\sqrt{-2}$ 与 $y-\sqrt{-2}$ 在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 中互素。

第三步(每个因子都是立方)。由于它们的乘积是立方 $x^3$,而 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 的单位元为 $\pm 1$(本身已经是立方),唯一分解性迫使对某整数 $u,v$ 有 $y+\sqrt{-2} = (u+v\sqrt{-2})^3$。展开立方得 $y+\sqrt{-2} = (u^3-6uv^2) + (3u^2v - 2v^3)\sqrt{-2}$。

第四步(读出整数解)。比较 $\sqrt{-2}$ 的系数得 $1 = v(3u^2-2v^2)$。因为 $u,v$ 是整数,必有 $v = \pm 1$;只有 $v=1$ 使 $3u^2-2 = 1$ 可解,给出 $u = \pm 1$。代回得 $y = u^3 - 6uv^2 = \pm 5$ 且 $x = u^2+2v^2 = 3$,所以 $y^2 = x^3 - 2$ 上仅有的整数点是 $(x,y) = (3, \pm 5)$。(注意这里的 $E(\mathbb{Q})$ 本身仍然是无穷的:从 $(3,5)$ 出发反复应用弦切律,会产生无穷多个分母越来越大的有理点,例如 $(\tfrac{129}{100}, \pm\tfrac{383}{1000})$。)

第一步(验证 $P$ 在曲线上并求切线斜率)。把 $P=(3,6)$ 代入 $y^2 = x^3 + 2x + 3 \pmod{97}$:左边为 $6^2 = 36$,右边为 $3^3 + 2\cdot 3 + 3 = 36$,所以 $P$ 在曲线上。对 $y^2 = x^3+ax+b$ 隐函数求导,可得 $P=(x_1,y_1)$ 处的切线斜率为 $\lambda \equiv \frac{3x_1^2+a}{2y_1} \pmod{97}$。取 $a=2$ 且 $(x_1,y_1)=(3,6)$,分子为 $3\cdot 9 + 2 = 29$,分母为 $2\cdot 6 = 12$。

第二步(对模 $97$ 求分母的逆元)。由于 $12\cdot 8 = 96 \equiv -1 \pmod{97}$,$12$ 模 $97$ 的逆元是 $-8 \equiv 89 \pmod{97}$。因此 $\lambda \equiv 29\cdot(-8) = -232 \equiv 59 \pmod{97}$。

第三步(求切线与曲线的交点并关于横轴反射)。弦切公式给出 $2P$ 的坐标 $(x_3,y_3)$ 为 $x_3 \equiv \lambda^2 - 2x_1 \pmod{97}$ 与 $y_3 \equiv \lambda(x_1 - x_3) - y_1 \pmod{97}$。计算得 $x_3 \equiv 59^2 - 6 = 3475 = 35\cdot 97 + 80 \equiv 80 \pmod{97}$,以及 $y_3 \equiv 59(3-80) - 6 = -4549 = -47\cdot 97 + 10 \equiv 10 \pmod{97}$,故 $2P = (80,10)$。