费马内点极值定理与二阶导数判别法

（必要性）设 $x_0$ 是局部极大值点（局部极小的情形类似）。存在 $\delta>0$，使得对满足 $|x-x_0|<\delta$ 的一切 $x$ 都有 $f(x)\le f(x_0)$。对 $h\in(0,\delta)$，$\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0$，令 $h\to 0^+$ 得 $f'(x_0)\le 0$。对 $h\in(-\delta,0)$，分子 $\le 0$ 而分母为负，故 $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0$，令 $h\to 0^-$ 得 $f'(x_0)\ge 0$。由于 $f$ 在 $x_0$ 处可导，两个单侧极限必须相等，从而 $f'(x_0)=0$。

（充分性，$f''(x_0)>0$ 的情形）由 $f'(x_0)=0$ 且 $f''$ 在 $x_0$ 附近存在，利用 $f''$ 是 $f'$ 的导数这一定义，当 $x\to x_0$ 时 $f'(x)=f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)=f''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$。因为 $f''(x_0)>0$，当 $x$ 略小于 $x_0$ 时该式为负，当 $x$ 略大于 $x_0$ 时为正。

于是 $f'$ 在 $x_0$ 两侧由 $-$ 变为 $+$：由单调性定理，$f$ 在 $x_0$ 左侧邻近递减、右侧邻近递增，这正是 $x_0$ 处局部极小值的定义。

$f''(x_0)<0$ 的情形完全类似，只需把所有不等号反向，得到 $f'$ 由 $+$ 变为 $-$，从而是局部极大值。当 $f''(x_0)=0$ 时，上述展开式无法给出 $x_0$ 附近 $f'$ 符号的信息，判别法失效，必须直接考察 $f'$ 的符号（如下面的常见错误部分用 $f(x)=x^3$ 所示）。