第一弗里德曼方程

在任意原点处固定一个共动半径为$r_0$的测试星系,于是它的物理距离为$R(t)=a(t)r_0$,物理速度为$\dot R = \dot a\, r_0$。由牛顿壳层定理,它所感受到的引力只来自半径$R$以内所含的质量$M$;由于宇宙膨胀时没有共动物质穿过半径为$r_0$的共动球面,故(对无压强物质而言)$M = \dfrac{4}{3}\pi (a r_{0})^{3}\rho$随时间保持不变。把质量为$m$的测试星系当作抛体处理:其总机械能$\dfrac12 \dot a^{2} r_{0}^{2} - \dfrac{GM m}{a r_{0}} = E$守恒。

代入$M$:$\dfrac12 \dot a^2 r_0^2 - \dfrac{G m}{a r_0}\cdot\dfrac{4}{3}\pi (ar_0)^3\rho = E$,化简为$\dfrac12\dot a^2 r_0^2 - \dfrac{4}{3}\pi G m \rho\, a^2 r_0^2 = E$。两边除以$\tfrac12 m a^2 r_0^2$:$\left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^2 - \dfrac{8\pi G}{3}\rho = \dfrac{2E}{m a^2 r_0^2}$。

右边必须与所选的任意半径$r_0$无关(该方程须对每一位共动观测者都成立,而$a(t)$本身不依赖于$r_0$),因此$\dfrac{2E}{mr_0^2}$是测试星系轨道的一个常数,只能依赖于固定的共动坐标结构——把这个常数定义为$\dfrac{2E}{m r_{0}^{2}} \equiv -kc^{2}$,即得$H^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}}$。另一个热力学论证(把宇宙学常数当作能量密度恒定为$\rho_\Lambda = \Lambda c^2/(8\pi G)$的流体,代入同一公式)恢复出$\Lambda c^2/3$项,恰好给出$H^{2} = \left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$——而令人惊叹的是,从爱因斯坦场方程出发的完整广义相对论计算得到的正是同一个方程,此时$k$被正确地识别为空间曲率的真实符号,而不仅仅是一个积分常数。