弗里德曼方程与相对论宇宙学

完整推导是把弗里德曼–勒梅特–罗伯逊–沃尔克度规代入爱因斯坦场方程,但一个了不起的牛顿式论证(米尔恩与麦克雷,1934年)在令$\Lambda=0$时再现了完全相同的方程:把位于共动物质膨胀球面上的一个测试星系,当作处在其内部所含一切物质引力场中的普通抛体,然后运用能量守恒。均匀球体外部的引力表现得就像它全部质量都集中在球心一样(牛顿壳层定理),因此只有内部所含质量才重要——这与广义相对论中,在均匀宇宙的某点处只有局域所含的质能才能使时空弯曲这一点相呼应。

在任意原点处固定一个共动半径为$r_0$的测试星系,于是它的物理距离为$R(t)=a(t)r_0$,物理速度为$\dot R = \dot a\, r_0$。由牛顿壳层定理,它所感受到的引力只来自半径$R$以内所含的质量$M$;由于宇宙膨胀时没有共动物质穿过半径为$r_0$的共动球面,故(对无压强物质而言)$M = \dfrac{4}{3}\pi (a r_{0})^{3}\rho$随时间保持不变。把质量为$m$的测试星系当作抛体处理:其总机械能$\dfrac12 \dot a^{2} r_{0}^{2} - \dfrac{GM m}{a r_{0}} = E$守恒。

代入$M$:$\dfrac12 \dot a^2 r_0^2 - \dfrac{G m}{a r_0}\cdot\dfrac{4}{3}\pi (ar_0)^3\rho = E$,化简为$\dfrac12\dot a^2 r_0^2 - \dfrac{4}{3}\pi G m \rho\, a^2 r_0^2 = E$。两边除以$\tfrac12 m a^2 r_0^2$:$\left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^2 - \dfrac{8\pi G}{3}\rho = \dfrac{2E}{m a^2 r_0^2}$。

右边必须与所选的任意半径$r_0$无关(该方程须对每一位共动观测者都成立,而$a(t)$本身不依赖于$r_0$),因此$\dfrac{2E}{mr_0^2}$是测试星系轨道的一个常数,只能依赖于固定的共动坐标结构——把这个常数定义为$\dfrac{2E}{m r_{0}^{2}} \equiv -kc^{2}$,即得$H^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}}$。另一个热力学论证(把宇宙学常数当作能量密度恒定为$\rho_\Lambda = \Lambda c^2/(8\pi G)$的流体,代入同一公式)恢复出$\Lambda c^2/3$项,恰好给出$H^{2} = \left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^{2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho - \dfrac{kc^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$——而令人惊叹的是,从爱因斯坦场方程出发的完整广义相对论计算得到的正是同一个方程,此时$k$被正确地识别为空间曲率的真实符号,而不仅仅是一个积分常数。

与牛顿引力不同,在广义相对论中压强本身也和能量密度一起产生引力——这一微妙效应在只涉及$\rho$的第一弗里德曼方程中并不显现。加速度方程揭示了这一点:普通物质与辐射具有正压强,总是通过$+3p/c^2$项使膨胀减速;而压强足够负、满足$p<-\rho c^2/3$的某种成分则会使符号反转,导致$\ddot a>0$——即宇宙加速膨胀,这正是这里用$\Lambda$建模的暗能量所做的事。

从第一弗里德曼方程$\dot a^2 = \dfrac{8\pi G}{3}\rho a^2 - kc^2 + \dfrac{\Lambda c^2}{3}a^2$出发,对两边关于$t$求导:$2\dot a\ddot a = \dfrac{8\pi G}{3}\left(\dot\rho a^2 + 2\rho a\dot a\right) + \dfrac{2\Lambda c^2}{3}a\dot a$。

将每一项除以$2a\dot a$(当$\dot a\neq0$时成立):$\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(\dfrac{\dot\rho\, a}{\dot a} + 2\rho\right) + \dfrac{\Lambda c^2}{3}$。

现在用流体方程$\dot\rho + 3\dfrac{\dot a}{a}\left(\rho + \dfrac{p}{c^{2}}\right) = 0$消去$\dot\rho$,将其整理为$\dfrac{\dot\rho\,a}{\dot a} = -3\left(\rho+\dfrac{p}{c^2}\right)$。代入得:$\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-3\rho-\dfrac{3p}{c^2}+2\rho\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-\rho-\dfrac{3p}{c^2}\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$。

这恰好就是$\dfrac{\ddot a}{a} = -\dfrac{4\pi G}{3}\left(\rho + \dfrac{3p}{c^{2}}\right) + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$,正如所述。注意流体方程本身不过是把热力学第一定律$d(\rho c^2 a^3) = -p\,d(a^3)$应用于一个膨胀的共动体积:共动一小块内部的能量之所以变化,仅仅是因为其体积增大时压强做了功。