第二弗里德曼(加速度)方程

从第一弗里德曼方程$\dot a^2 = \dfrac{8\pi G}{3}\rho a^2 - kc^2 + \dfrac{\Lambda c^2}{3}a^2$出发,对两边关于$t$求导:$2\dot a\ddot a = \dfrac{8\pi G}{3}\left(\dot\rho a^2 + 2\rho a\dot a\right) + \dfrac{2\Lambda c^2}{3}a\dot a$。

将每一项除以$2a\dot a$(当$\dot a\neq0$时成立):$\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(\dfrac{\dot\rho\, a}{\dot a} + 2\rho\right) + \dfrac{\Lambda c^2}{3}$。

现在用流体方程$\dot\rho + 3\dfrac{\dot a}{a}\left(\rho + \dfrac{p}{c^{2}}\right) = 0$消去$\dot\rho$,将其整理为$\dfrac{\dot\rho\,a}{\dot a} = -3\left(\rho+\dfrac{p}{c^2}\right)$。代入得:$\dfrac{\ddot a}{a} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-3\rho-\dfrac{3p}{c^2}+2\rho\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3} = \dfrac{4\pi G}{3}\left(-\rho-\dfrac{3p}{c^2}\right)+\dfrac{\Lambda c^2}{3}$。

这恰好就是$\dfrac{\ddot a}{a} = -\dfrac{4\pi G}{3}\left(\rho + \dfrac{3p}{c^{2}}\right) + \dfrac{\Lambda c^{2}}{3}$,正如所述。注意流体方程本身不过是把热力学第一定律$d(\rho c^2 a^3) = -p\,d(a^3)$应用于一个膨胀的共动体积:共动一小块内部的能量之所以变化,仅仅是因为其体积增大时压强做了功。