圆周的基本群

第一步 — 建立覆盖映射。设 $p: \mathbb{R} \to S^1$ 为 $p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$,这是一个连续满射,$S^1$ 的每一点都有一个被均匀覆盖的邻域(一段小弧在 $p$ 下的原像是 $\mathbb{R}$ 中若干互不相交开区间的并,每个区间同胚地映到该弧上)。固定基点 $1 = p(0) \in S^1$。

第二步 — 道路提升。对满足 $\gamma(0)=\gamma(1)=1$ 的任意环路 $\gamma: [0,1] \to S^1$,存在唯一的连续提升 $\tilde\gamma: [0,1] \to \mathbb{R}$,满足 $p \circ \tilde\gamma = \gamma$ 且 $\tilde\gamma(0) = 0$(构造方法:用有限个小区间覆盖 $[0,1]$,使 $\gamma$ 在每个小区间上都停留在某个被均匀覆盖的邻域内,然后逐段提升,每次选取从前一个端点延续的 $p^{-1}$ 分支)。定义 $\deg(\gamma) = \tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$(这是一个整数,因为 $p(\tilde\gamma(1)) = \gamma(1) = 1 = p(0)$ 迫使 $\tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$)。

第三步 — 同伦不变性。若 $\gamma \simeq_p \gamma'$ 通过同伦 $H$,则同伦提升性质(用与道路提升相同的方法、逐条带证明)给出连续提升 $\tilde H$,满足 $\tilde H(s,0)=\tilde\gamma(s)$,且对所有 $t$ 有 $\tilde H(0,t)=0$(为常数,因为它提升了常值基点环路)。于是 $t \mapsto \tilde H(1,t)$ 是 $t$ 的连续整数值函数(由与第二步相同的论证),因而是常数;故 $\deg(\gamma) = \tilde H(1,0) = \tilde H(1,1) = \deg(\gamma')$。因此 $\deg$ 在同伦类 $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$ 上是良定义的。

第四步 — 同态性质。对环路 $\gamma, \delta$,提升 $\gamma * \delta$ 的方法是:先提升 $\gamma$ 使其终止于 $\deg(\gamma)$,再从 $\deg(\gamma)$ 开始提升 $\delta$(这是 $\delta$ 的提升的一个平移副本,由于 $p$ 在整数平移下不变而有效),由此得到 $\deg(\gamma * \delta) = \deg(\gamma) + \deg(\delta)$。故 $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$ 是群同态 $\pi_1(S^1,1) \to \mathbb{Z}$。

第五步 — 双射性。满射:对任意 $n \in \mathbb{Z}$,$\gamma_n(s) = p(ns)$ 是满足 $\deg(\gamma_n)=n$ 的环路。单射:若 $\deg(\gamma)=0$,提升 $\tilde\gamma$ 是 $\mathbb{R}$ 中以 $0$ 为基点的环路(因为 $\tilde\gamma(1)=0=\tilde\gamma(0)$);$\mathbb{R}$ 是凸的,故直线同伦 $\tilde H(s,t) = (1-t)\tilde\gamma(s)$ 在保持端点不变的情况下把 $\tilde\gamma$ 收缩为 $0$ 处的常值道路,与 $p$ 复合后得到从 $\gamma$ 到常值环路的道路同伦,故 $[\gamma]$ 是平凡的。因此 $\deg$ 是双射同态,即同构 $\pi_1(S^1,1) \cong \mathbb{Z}$。