伽罗瓦群在根上的传递作用

第一步:因 $f$ 在 $K$ 上不可约,且 $r_1,r_2\in R\subset L$ 都是其根,故存在 $K$-同构 $\varphi:K(r_1)\to K(r_2)$ 满足 $\varphi(r_1)=r_2$,$\varphi|_K=\mathrm{id}_K$——这是极小多项式的基本性质:通过将 $r_1\mapsto x\mapsto r_2$ 的同构,有 $K(r_1)\cong K[x]/(f)\cong K(r_2)$。

第二步:$L$ 既是 $f$ 在 $K(r_1)$ 上的分裂域,也是在 $K(r_2)$ 上的分裂域(因 $L$ 是 $K$ 上的分裂域,且 $K\subseteq K(r_i)\subseteq L$)。由分裂域的同构扩张定理,$\varphi$ 可扩张为域同构 $\sigma:L\to L$。

第三步:因 $\sigma|_K=\varphi|_K=\mathrm{id}_K$,故 $\sigma\in\mathrm{Gal}(L/K)$,且 $\sigma(r_1)=\varphi(r_1)=r_2$。因此对任意两根 $r_1,r_2$ 总存在将一个送到另一个的 $\sigma$——这正是传递作用的定义。