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定理已证明

等比级数定理

命题陈述

对于实数aa和rr(aa非零),等比级数∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n当且仅当∣r∣<1|r|<1时收敛,此时∑n=0∞arn=a1−r\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}。

为什么成立?

等比级数是唯一一种其部分和可以写成封闭形式的级数,因此它既是最简单的收敛判据,也是许多其他判别法(比值、根值、比较)所校准的标尺:这些方法都是通过将一般级数与等比级数比较来发挥作用的。

证明思路

第一步(将部分和写成封闭形式)。将SNS_N乘以rr:SN=∑n=0N−1arnS_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^n,且rSN=∑n=0N−1arn+1=∑n=1NarnrS_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^{n+1}=\sum_{n=1}^{N}ar^n。相减后几乎所有项都抵消:SN−rSN=a−arNS_N-rS_N=a-ar^N,于是(1−r)SN=a(1−rN)(1-r)S_N=a(1-r^N)。

第二步(求解部分和)。若r≠1r\neq1,则得到SN=a1−rN1−rS_N=a\dfrac{1-r^N}{1-r},这是对每个nn都成立的精确有限公式——此时尚未取极限。

第三步(取极限)。若∣r∣<1|r|<1,则当N→∞N\to\infty时rN→0r^N\to0(底的绝对值小于11的幂趋于零),故SN→a1−01−r=a1−rS_N\to a\dfrac{1-0}{1-r}=\dfrac{a}{1-r},这正是∑n=0∞arn=a1−r\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}。

第四步(反之:发散)。若∣r∣≥1|r|\ge1且r≠1r\neq1,则rNr^N不趋于任何有限极限(振荡或无限增长),故SNS_N没有极限,级数发散;若r=1r=1,则SNS_N等于NaNa,由于aa非零,它发散到无穷。这涵盖了所有情形,证明了'当且仅当'。

用到此定理的主题

数项级数与收敛判别法

分步证明

该定理暂无分步证明。