数项级数与收敛判别法

等比级数是唯一一种其部分和可以写成封闭形式的级数,因此它既是最简单的收敛判据,也是许多其他判别法(比值、根值、比较)所校准的标尺:这些方法都是通过将一般级数与等比级数比较来发挥作用的。

第一步(将部分和写成封闭形式)。将$S_N$乘以$r$:$S_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^n$,且$rS_N=\sum_{n=0}^{N-1}ar^{n+1}=\sum_{n=1}^{N}ar^n$。相减后几乎所有项都抵消:$S_N-rS_N=a-ar^N$,于是$(1-r)S_N=a(1-r^N)$。

第二步(求解部分和)。若$r\neq1$,则得到$S_N=a\dfrac{1-r^N}{1-r}$,这是对每个$n$都成立的精确有限公式——此时尚未取极限。

第三步(取极限)。若$|r|<1$,则当$N\to\infty$时$r^N\to0$(底的绝对值小于$1$的幂趋于零),故$S_N\to a\dfrac{1-0}{1-r}=\dfrac{a}{1-r}$,这正是$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$。

第四步(反之:发散)。若$|r|\ge1$且$r\neq1$,则$r^N$不趋于任何有限极限(振荡或无限增长),故$S_N$没有极限,级数发散;若$r=1$,则$S_N$等于$Na$,由于$a$非零,它发散到无穷。这涵盖了所有情形,证明了'当且仅当'。

许多级数,例如$p$级数,并没有封闭形式的部分和,因此直接计算极限行不通;但如果各项来自一个光滑的递减函数,离散和与连续积分会彼此紧密贴合,而积分通常更容易求值或估计上下界。

第一步(用积分的一条带来夹住每一项)。由于$f(x)$是递减的,对任意整数$n\ge1$及$x\in[n,n+1]$都有$f(n+1)\le f(x)\le f(n)$。在该单位区间上积分,得到$f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n)$。

第二步(将不等式求和)。对$n=1,\dots,N$求和右侧不等式,得到$\int_1^{N+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=1}^{N}a_n=S_N$;对$n=1,\dots,N-1$求和左侧不等式,得到$S_N-a_1\le\int_1^{N}f(x)\,dx$。因此部分和$S_N$被夹在两个都随$[1,N]$增长的积分之间。

第三步(收敛性单向传递)。若$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$收敛,则当$N\to\infty$时$\int_1^{N}f(x)\,dx$有上界,由第二步,递增数列$S_N$有上界,而实数中有界的递增数列必收敛($\mathbb{R}$单调收敛性质的一种体现);因此$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛。

第四步(发散性反向传递)。反之,若$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$发散(无限增长),则当$N\to\infty$时$\int_1^{N+1}f(x)\,dx\to\infty$,由第二步中的第一个不等式,$S_N$被一个趋于无穷的量从下方夹住,故$S_N$也发散到无穷。结合第三步与第四步即得完整的'当且仅当'。