陈氏定理(1973)

证明是一个加权筛法论证。固定一个较大的偶数 $n$,对每个素数 $p\le n$,考察 $n-p$ 的素因子是否很少。朴素的筛法(塞尔伯格上界筛)可以证明使 $n-p$ 至多有两个素因子的 $p\le n$ 的个数不会太小——但单靠朴素筛法无法强有力地区分"$n-p$ 是素数"与"$n-p$ 有 $3,4,\dots$ 个素因子",从而无法得出结论。

陈氏的关键工具——加权筛(即"转换原理")——为每个候选 $p$ 赋予一个由两个不同筛水平构成的权重:一个上界筛用于"坏"事件,即 $n-p$ 在阈值 $z\approx n^{1/3}$ 以下有三个或更多素因子;一个下界筛用于计数 $n-p$ 与所有小于 $z$ 的素数互素的 $p\le n$ 总数。用第二者减去第一者的适当加权倍数,得到一个可证明当 $n$ 充分大时为正的组合和——这说明存在某个 $p$,使 $n-p$ 在阈值以上至多有 $2$ 个素因子,即 $n-p$ 是素数或半素数。

要使"可证明为正"成立,需要估计源自筛法余项的一个双线性型,用到关于素数在大模数等差数列中分布的Bombieri–Vinogradov型结果(对模数平均到约 $n^{1/2-\varepsilon}$);这是最深的解析输入,也是该定理需要 $n$ "充分大"而非从一开始就对所有 $n$ 成立的原因。

该定理止步于"素数或半素数"而非"素数或素数",是因为筛法存在奇偶性问题:标准筛权重按其构造无法区分素因子个数为偶数与奇数的数,因此这类论证永远无法单独筛出素数——半素数是筛法理论目前所能达到的最锐利目标。