哥德巴赫猜想

这是人类迄今用完全严格、无条件的论证最接近证明二元哥德巴赫猜想的结果:它把一侧的"素数"放宽为"素数或半素数",这正是筛法能够处理的情形,尽管筛法无法精确分离出素数本身。

证明是一个加权筛法论证。固定一个较大的偶数 $n$,对每个素数 $p\le n$,考察 $n-p$ 的素因子是否很少。朴素的筛法(塞尔伯格上界筛)可以证明使 $n-p$ 至多有两个素因子的 $p\le n$ 的个数不会太小——但单靠朴素筛法无法强有力地区分"$n-p$ 是素数"与"$n-p$ 有 $3,4,\dots$ 个素因子",从而无法得出结论。

陈氏的关键工具——加权筛(即"转换原理")——为每个候选 $p$ 赋予一个由两个不同筛水平构成的权重:一个上界筛用于"坏"事件,即 $n-p$ 在阈值 $z\approx n^{1/3}$ 以下有三个或更多素因子;一个下界筛用于计数 $n-p$ 与所有小于 $z$ 的素数互素的 $p\le n$ 总数。用第二者减去第一者的适当加权倍数,得到一个可证明当 $n$ 充分大时为正的组合和——这说明存在某个 $p$,使 $n-p$ 在阈值以上至多有 $2$ 个素因子,即 $n-p$ 是素数或半素数。

要使"可证明为正"成立,需要估计源自筛法余项的一个双线性型,用到关于素数在大模数等差数列中分布的Bombieri–Vinogradov型结果(对模数平均到约 $n^{1/2-\varepsilon}$);这是最深的解析输入,也是该定理需要 $n$ "充分大"而非从一开始就对所有 $n$ 成立的原因。

该定理止步于"素数或半素数"而非"素数或素数",是因为筛法存在奇偶性问题:标准筛权重按其构造无法区分素因子个数为偶数与奇数的数,因此这类论证永远无法单独筛出素数——半素数是筛法理论目前所能达到的最锐利目标。

这是圆法直接应用于素数所取得的最深刻的无条件成功,它使二元哥德巴赫猜想从一个完全开放的问题,变成了至少其奇数和类比版本已被彻底解决的问题。

证明完全遵循本节前面概述的圆法,应用于冯·芒戈尔特加权指数和 $F(\alpha)=\sum_{p\le n}\log p\; e(p\alpha)$,表示数由 $\int_0^1 F(\alpha)^3 e(-n\alpha)\,d\alpha$ 加权计数。

在主弧(围绕分母 $q$ 较小的有理数 $a/q$ 的短区间)上,关于等差数列中素数分布的西格尔–瓦尔菲兹定理——对直到 $\log n$ 任意固定幂的模 $q$ 一致成立——使我们能在那里显式求值该积分,得到主项 $\tfrac12\mathfrak S(n)\,n^2$,其中"奇异级数" $\mathfrak S(n)$ 是各素数局部密度的乘积,衡量 $n$ 模该素数可解为 $p_1+p_2+p_3$ 的频率。对奇数 $n$ 而言,每个局部条件都可解(不存在类似困扰二元情形的奇偶性障碍),因此 $\mathfrak S(n)$ 有远离 $0$ 的下界,主项确实为正且量级为 $n^2$。

在次弧上,维诺格拉多夫关于素数的指数和估计——一个在此处成立的高度非平凡的界 $|F(\alpha)|\ll n(\log n)^4/q^{1/2}$——表明其贡献为 $o(n^2)$,严格小于主项,因而不能抵消主弧带来的正贡献。将两者结合,得到当 $n$ 充分大时表示数为正,这就是维诺格拉多夫1937年的定理。

赫尔弗戈特2013年的完成工作使上述每一步都变得完全显式,而不仅是"充分大":更精细的主弧与次弧估计(包括对狄利克雷 $L$ 函数零点到特定高度的显式、经计算机验证的界)弥合了解析论证生效的显式阈值与已由计算机直接搜索验证的范围之间的差距,从而对真正每一个奇数 $n>5$ 都给出了无条件的证明。