三元哥德巴赫定理(维诺格拉多夫1937年,赫尔弗戈特2013年)

证明完全遵循本节前面概述的圆法,应用于冯·芒戈尔特加权指数和 $F(\alpha)=\sum_{p\le n}\log p\; e(p\alpha)$,表示数由 $\int_0^1 F(\alpha)^3 e(-n\alpha)\,d\alpha$ 加权计数。

在主弧(围绕分母 $q$ 较小的有理数 $a/q$ 的短区间)上,关于等差数列中素数分布的西格尔–瓦尔菲兹定理——对直到 $\log n$ 任意固定幂的模 $q$ 一致成立——使我们能在那里显式求值该积分,得到主项 $\tfrac12\mathfrak S(n)\,n^2$,其中"奇异级数" $\mathfrak S(n)$ 是各素数局部密度的乘积,衡量 $n$ 模该素数可解为 $p_1+p_2+p_3$ 的频率。对奇数 $n$ 而言,每个局部条件都可解(不存在类似困扰二元情形的奇偶性障碍),因此 $\mathfrak S(n)$ 有远离 $0$ 的下界,主项确实为正且量级为 $n^2$。

在次弧上,维诺格拉多夫关于素数的指数和估计——一个在此处成立的高度非平凡的界 $|F(\alpha)|\ll n(\log n)^4/q^{1/2}$——表明其贡献为 $o(n^2)$,严格小于主项,因而不能抵消主弧带来的正贡献。将两者结合,得到当 $n$ 充分大时表示数为正,这就是维诺格拉多夫1937年的定理。

赫尔弗戈特2013年的完成工作使上述每一步都变得完全显式,而不仅是"充分大":更精细的主弧与次弧估计(包括对狄利克雷 $L$ 函数零点到特定高度的显式、经计算机验证的界)弥合了解析论证生效的显式阈值与已由计算机直接搜索验证的范围之间的差距,从而对真正每一个奇数 $n>5$ 都给出了无条件的证明。