贝尔特拉米恒等式

沿极值曲线 $y(x)$ 令 $H(x) = L(y,y') - y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$,用链式法则对 $x$ 求导:$\frac{dH}{dx} = \frac{\partial L}{\partial y} y' + \frac{\partial L}{\partial y'} y'' - y''\,\frac{\partial L}{\partial y'} - y'\,\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}$。

含 $y''$ 的两项恰好相消,剩下 $\frac{dH}{dx} = y'\left( \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right)$。

但 $y(x)$ 是极值曲线,由欧拉-拉格朗日方程,括号中的因子沿 $y$ 恒为零。因此在整个区间上 $\frac{dH}{dx}=0$,即 $H(x)=L-y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$ 为常数,命题得证。