变分法

这类似于在极小点处令普通导数为零,但这里被扰动的『方向』不是一个数,而是曲线的整个可行变分。要求对每一个这样的变分,一阶变化都为零,就在每一点上强制了 $L$ 对 $y$ 的直接依赖与对 $y'$ 的依赖之间的平衡,而这正是该方程所表达的内容。

固定任意光滑函数 $\eta(x)$,满足 $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$,考虑单参数竞争曲线族 $y_\epsilon(x) = y(x) + \epsilon\,\eta(x)$,它们与 $y$ 有相同的端点值。令 $\phi(\epsilon) = J[y_\epsilon]$;由于假设 $y$ 使 $J$ 取极值,普通函数 $\phi$ 在 $\epsilon=0$ 处有临界点,故 $\phi'(0)=0$。

在积分号下求导,得到 $\phi'(\epsilon) = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx$,其中 $L$ 的偏导数沿 $y_\epsilon$ 计算。令 $\epsilon=0$ 得 $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx = 0$。

对第二项分部积分:$\int_{x_0}^{x_1} \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta'\,dx = \left[ \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta \right]_{x_0}^{x_1} - \int_{x_0}^{x_1} \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta\,dx$。因 $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$,边界项消失,剩下 $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right] \eta\,dx = 0$。

该积分对每一个容许的 $\eta$ 都为零。由变分法基本引理——若某连续函数与每个这样的检验函数的积分都为零,则该函数本身必恒为零——括号中的量在每个 $x$ 处都为零,而这恰好就是 $\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0$。

这是一个守恒量,与能量守恒完全类似:当沿 $x$ 移动时『规则』$L$ 不变时,$L$ 与 $y'$ 的某个特定组合保持不变。它给出一个一阶方程,取代二阶的欧拉-拉格朗日方程,通常直接求解要容易得多。

沿极值曲线 $y(x)$ 令 $H(x) = L(y,y') - y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$,用链式法则对 $x$ 求导:$\frac{dH}{dx} = \frac{\partial L}{\partial y} y' + \frac{\partial L}{\partial y'} y'' - y''\,\frac{\partial L}{\partial y'} - y'\,\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}$。

含 $y''$ 的两项恰好相消,剩下 $\frac{dH}{dx} = y'\left( \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right)$。

但 $y(x)$ 是极值曲线,由欧拉-拉格朗日方程,括号中的因子沿 $y$ 恒为零。因此在整个区间上 $\frac{dH}{dx}=0$,即 $H(x)=L-y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}$ 为常数,命题得证。