欧拉-拉格朗日方程

固定任意光滑函数 $\eta(x)$,满足 $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$,考虑单参数竞争曲线族 $y_\epsilon(x) = y(x) + \epsilon\,\eta(x)$,它们与 $y$ 有相同的端点值。令 $\phi(\epsilon) = J[y_\epsilon]$;由于假设 $y$ 使 $J$ 取极值,普通函数 $\phi$ 在 $\epsilon=0$ 处有临界点,故 $\phi'(0)=0$。

在积分号下求导,得到 $\phi'(\epsilon) = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx$,其中 $L$ 的偏导数沿 $y_\epsilon$ 计算。令 $\epsilon=0$ 得 $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} \,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta' \right] dx = 0$。

对第二项分部积分:$\int_{x_0}^{x_1} \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta'\,dx = \left[ \frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta \right]_{x_0}^{x_1} - \int_{x_0}^{x_1} \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \,\eta\,dx$。因 $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$,边界项消失,剩下 $\int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right] \eta\,dx = 0$。

该积分对每一个容许的 $\eta$ 都为零。由变分法基本引理——若某连续函数与每个这样的检验函数的积分都为零,则该函数本身必恒为零——括号中的量在每个 $x$ 处都为零,而这恰好就是 $\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0$。