哈恩–巴拿赫延拓定理

首先扩展一维。选取 $x_0\notin Y$，令 $Y_1=Y\oplus\mathbb{R}x_0$。我们需要选取值 $c=\Phi(x_0)$，使得对所有 $y\in Y,t\in\mathbb{R}$ 都有 $|\varphi(y)+tc|\le M\|y+tx_0\|$；除以 $t\ne0$ 并代换 $y/t\to y$，这归结为需要 $c$ 满足对所有 $y\in Y$ 都有 $\varphi(y)-M\|y-x_0\|\le c\le M\|y+x_0\|-\varphi(y)$。利用 $\varphi(y_1)-\varphi(y_2)=\varphi(y_1-y_2)\le M\|y_1-y_2\|\le M\|y_1+x_0\|+M\|y_2-x_0\|$，可验证左边关于 $y_1$ 的上确界永远不超过右边关于 $y_2$ 的下确界，因此该区间内存在合适的 $c$；由此在 $Y_1$ 上定义了具有相同界 $M$ 的 $\Phi$。

接着，用佐恩引理扩展到整个 $X$。考虑所有满足 $Y\subseteq Z\subseteq X$ 的子空间 $Z$ 以及把 $\varphi$ 以界 $M$ 延拓到 $Z$ 上的 $\Psi$ 组成的对 $(Z,\Psi)$ 的集合，按 $(Z_1,\Psi_1)\le(Z_2,\Psi_2)$ 当且仅当 $Z_1\subseteq Z_2$ 且 $\Psi_2|_{Z_1}=\Psi_1$ 进行偏序。每条链都有上界(取子空间的并，以及在各自定义域上与之一致的泛函)，于是佐恩引理给出一个极大元 $(Z^*,\Phi)$。

最后，若 $Z^*\ne X$，将上面一维扩展的步骤应用于 $Z^*$ 和任意 $x_0\in X\setminus Z^*$，就会得到一个严格更大的容许对，与 $(Z^*,\Phi)$ 的极大性矛盾。因此 $Z^*=X$，$\Phi$ 就是所求的保界延拓到整个 $X$ 上的泛函。