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泛函分析 研究由函数构成的无穷维向量空间及作用于其上的线性算子。
直观 何时可以对无穷多个坐标做微积分？ R n \mathbb{R}^n R n n n n R n \mathbb{R}^n R n ∥ x ∥ \|x\| ∥ x ∥ 无穷 列表——它在每一点的取值，或者等价地说是它的无穷多个傅里叶系数。泛函分析 要问的是：我们能否继续在函数之间测量"长度"与"夹角"，并在由此得到的无穷维空间上继续做微积分(极限、求导、最优化)？答案是可以，只要该空间是完备的 ——无穷和与极限不会"跑出"这个空间——而这正是把一个普通的函数向量空间变成巴拿赫空间 ，或者在具备内积时变成希尔伯特空间 的关键。
函数与序列空间之间包含关系的网络:每个希尔伯特空间(节点 ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 L 2 [ 0 , 1 ] L^2[0,1] L 2 [ 0 , 1 ] C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] ℓ p \ell^p ℓ p C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] 大学 范数、完备性与内积 定义: 赋范向量空间与巴拿赫空间
在 R \mathbb{R} R C \mathbb{C} C X X X 范数 是一个映射 ∥ x ∥ \|x\| ∥ x ∥ ∥ x ∥ \|x\| ∥ x ∥ = 0 =0 = 0 x = 0 x=0 x = 0 ∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ ∥ x ∥ \|\lambda x\|=|\lambda|\|x\| ∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣∥ x ∥ ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \|x+y\|\le\|x\|+\|y\| ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ ( x n ) (x_n) ( x n ) 柯西列 ；若 X X X X X X X X X 完备的 ，并称之为巴拿赫空间 。正是完备性让我们能从一个无穷过程——函数的无穷级数、迭代逼近格式——构造出极限函数，并确信这个极限仍然是该空间的真正元素。
写出来，柯西条件是说数列的尾部在范数意义下紧密地聚拢在一起：
∀ ε > 0 ∃ N : n , m ≥ N ⟹ ∥ x n − x m ∥ < ε \forall\varepsilon>0\ \exists N:\ n,m\ge N \Longrightarrow \|x_n-x_m\|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ N : n , m ≥ N ⟹ ∥ x n − x m ∥ < ε 这里 ε \varepsilon ε N N N ∥ x ∥ \|x\| ∥ x ∥ X X X X X X 内积 ⟨ x , x ⟩ \langle x,x\rangle ⟨ x , x ⟩ ∥ x ∥ = ⟨ x , x ⟩ \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle} ∥ x ∥ = ⟨ x , x ⟩ X X X 希尔伯特空间 ，通常记作 H H H 正交性 与夹角 。
∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ∥ y ∥ |\langle x,y\rangle|\le\|x\|\,\|y\| ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ∥ y ∥ 这就是柯西–施瓦茨不等式 ：两个向量的内积永远不会超过它们长度的乘积，正如普通三维空间中 u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ ∥ v ⃗ ∥ cos θ \vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta u ⋅ v = ∥ u ∥∥ v ∥ cos θ ∣ cos θ ∣ ≤ 1 |\cos\theta|\le1 ∣ cos θ ∣ ≤ 1 平行四边形法则 ∥ x + y ∥ 2 + ∥ x − y ∥ 2 = 2 ∥ x ∥ 2 + 2 ∥ y ∥ 2 \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2 ∥ x + y ∥ 2 + ∥ x − y ∥ 2 = 2∥ x ∥ 2 + 2∥ y ∥ 2
常见的巴拿赫空间与希尔伯特空间 空间 范数 完备吗？ 是希尔伯特空间吗？ ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 ( ∑ i ∣ x i ∣ 2 ) 1 / 2 \left(\sum_i|x_i|^2\right)^{1/2} ( ∑ i ∣ x i ∣ 2 ) 1/2 是 是 ℓ p \ell^p ℓ p p ≠ 2 p\ne2 p = 2 ( ∑ i ∣ x i ∣ p ) 1 / p \left(\sum_i|x_i|^p\right)^{1/p} ( ∑ i ∣ x i ∣ p ) 1/ p 是 否 C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] sup t ∣ f ( t ) ∣ \sup_{t}|f(t)| sup t ∣ f ( t ) ∣ 是 否 L 2 [ 0 , 1 ] L^2[0,1] L 2 [ 0 , 1 ] ( ∫ 0 1 ∣ f ( t ) ∣ 2 d t ) 1 / 2 \left(\int_0^1|f(t)|^2dt\right)^{1/2} ( ∫ 0 1 ∣ f ( t ) ∣ 2 d t ) 1/2 是 是
大学 两大支柱：里斯表示定理与哈恩–巴拿赫定理 设 H H H φ \varphi φ H H H y ∈ H y\in H y ∈ H x ∈ H x\in H x ∈ H φ ( x ) = ⟨ x , y ⟩ \varphi(x)=\langle x,y\rangle φ ( x ) = ⟨ x , y ⟩ ∥ φ ∥ = ∥ y ∥ \|\varphi\|=\|y\| ∥ φ ∥ = ∥ y ∥
为什么成立? 这说明，任何一种线性且连续地 给每个向量赋一个数的方式，本质上都只是"与某个固定向量做内积"——抽象的泛函并不比我们已经熟悉的最具体的泛函更一般。
证明 若 φ = 0 \varphi=0 φ = 0 y = 0 y=0 y = 0 N = ker φ = { x ∈ H : φ ( x ) = 0 } N=\ker\varphi=\{x\in H:\varphi(x)=0\} N = ker φ = { x ∈ H : φ ( x ) = 0 } φ \varphi φ N N N H H H H H H H = N ⊕ N ⊥ H=N\oplus N^{\perp} H = N ⊕ N ⊥ N N N N ⊥ N^{\perp} N ⊥ z ≠ 0 z\ne0 z = 0
对任意 x ∈ H x\in H x ∈ H u = φ ( x ) z − φ ( z ) x u=\varphi(x)z-\varphi(z)x u = φ ( x ) z − φ ( z ) x φ \varphi φ φ ( u ) = φ ( x ) φ ( z ) − φ ( z ) φ ( x ) = 0 \varphi(u)=\varphi(x)\varphi(z)-\varphi(z)\varphi(x)=0 φ ( u ) = φ ( x ) φ ( z ) − φ ( z ) φ ( x ) = 0 u ∈ N u\in N u ∈ N z ∈ N ⊥ z\in N^{\perp} z ∈ N ⊥ ⟨ u , z ⟩ = 0 \langle u,z\rangle=0 ⟨ u , z ⟩ = 0 φ ( x ) ⟨ z , z ⟩ − φ ( z ) ⟨ x , z ⟩ = 0 \varphi(x)\langle z,z\rangle-\varphi(z)\langle x,z\rangle=0 φ ( x ) ⟨ z , z ⟩ − φ ( z ) ⟨ x , z ⟩ = 0 φ ( x ) \varphi(x) φ ( x ) φ ( x ) = φ ( z ) ∥ z ∥ 2 ⟨ x , z ⟩ = ⟨ x , φ ( z ) ‾ ∥ z ∥ 2 z ⟩ \varphi(x)=\dfrac{\varphi(z)}{\|z\|^2}\langle x,z\rangle=\left\langle x,\dfrac{\overline{\varphi(z)}}{\|z\|^2}z\right\rangle φ ( x ) = ∥ z ∥ 2 φ ( z ) ⟨ x , z ⟩ = ⟨ x , ∥ z ∥ 2 φ ( z ) z ⟩ y = φ ( z ) ‾ ∥ z ∥ 2 z y=\dfrac{\overline{\varphi(z)}}{\|z\|^2}z y = ∥ z ∥ 2 φ ( z ) z φ \varphi φ
关于唯一性，若对所有 x x x ⟨ x , y 1 ⟩ = ⟨ x , y 2 ⟩ \langle x,y_1\rangle=\langle x,y_2\rangle ⟨ x , y 1 ⟩ = ⟨ x , y 2 ⟩ x = y 1 − y 2 x=y_1-y_2 x = y 1 − y 2 ∥ y 1 − y 2 ∥ 2 = 0 \|y_1-y_2\|^2=0 ∥ y 1 − y 2 ∥ 2 = 0 y 1 = y 2 y_1=y_2 y 1 = y 2 ∣ φ ( x ) ∣ = ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ y ∥ ∥ x ∥ |\varphi(x)|=|\langle x,y\rangle|\le\|y\|\|x\| ∣ φ ( x ) ∣ = ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ y ∥∥ x ∥ ∥ φ ∥ ≤ ∥ y ∥ \|\varphi\|\le\|y\| ∥ φ ∥ ≤ ∥ y ∥ x = y x=y x = y φ ( y ) = ∥ y ∥ 2 \varphi(y)=\|y\|^2 φ ( y ) = ∥ y ∥ 2 ∥ φ ∥ ≥ ∣ φ ( y ) ∣ / ∥ y ∥ = ∥ y ∥ \|\varphi\|\ge|\varphi(y)|/\|y\|=\|y\| ∥ φ ∥ ≥ ∣ φ ( y ) ∣/∥ y ∥ = ∥ y ∥ ∥ φ ∥ = ∥ y ∥ \|\varphi\|=\|y\| ∥ φ ∥ = ∥ y ∥
设 X X X Y Y Y X X X φ \varphi φ Y Y Y y ∈ Y y\in Y y ∈ Y ∣ φ ( y ) ∣ ≤ M ∥ y ∥ |\varphi(y)|\le M\|y\| ∣ φ ( y ) ∣ ≤ M ∥ y ∥ X X X Φ \Phi Φ y ∈ Y y\in Y y ∈ Y Φ ( y ) = φ ( y ) \Phi(y)=\varphi(y) Φ ( y ) = φ ( y ) x ∈ X x\in X x ∈ X ∣ Φ ( x ) ∣ ≤ M ∥ x ∥ |\Phi(x)|\le M\|x\| ∣Φ ( x ) ∣ ≤ M ∥ x ∥
为什么成立? 它保证只在一个较小子空间上定义的线性泛函——例如只知道"信号在几个采样点上的取值"——总能被延拓到整个空间而不增大其界；我们永远不会被迫只能在子空间上工作。
证明 首先扩展一维。选取 x 0 ∉ Y x_0\notin Y x 0 ∈ / Y Y 1 = Y ⊕ R x 0 Y_1=Y\oplus\mathbb{R}x_0 Y 1 = Y ⊕ R x 0 c = Φ ( x 0 ) c=\Phi(x_0) c = Φ ( x 0 ) y ∈ Y , t ∈ R y\in Y,t\in\mathbb{R} y ∈ Y , t ∈ R ∣ φ ( y ) + t c ∣ ≤ M ∥ y + t x 0 ∥ |\varphi(y)+tc|\le M\|y+tx_0\| ∣ φ ( y ) + t c ∣ ≤ M ∥ y + t x 0 ∥ t ≠ 0 t\ne0 t = 0 y / t → y y/t\to y y / t → y c c c y ∈ Y y\in Y y ∈ Y φ ( y ) − M ∥ y − x 0 ∥ ≤ c ≤ M ∥ y + x 0 ∥ − φ ( y ) \varphi(y)-M\|y-x_0\|\le c\le M\|y+x_0\|-\varphi(y) φ ( y ) − M ∥ y − x 0 ∥ ≤ c ≤ M ∥ y + x 0 ∥ − φ ( y ) φ ( y 1 ) − φ ( y 2 ) = φ ( y 1 − y 2 ) ≤ M ∥ y 1 − y 2 ∥ ≤ M ∥ y 1 + x 0 ∥ + M ∥ y 2 − x 0 ∥ \varphi(y_1)-\varphi(y_2)=\varphi(y_1-y_2)\le M\|y_1-y_2\|\le M\|y_1+x_0\|+M\|y_2-x_0\| φ ( y 1 ) − φ ( y 2 ) = φ ( y 1 − y 2 ) ≤ M ∥ y 1 − y 2 ∥ ≤ M ∥ y 1 + x 0 ∥ + M ∥ y 2 − x 0 ∥ y 1 y_1 y 1 y 2 y_2 y 2 c c c Y 1 Y_1 Y 1 M M M Φ \Phi Φ
接着，用佐恩引理扩展到整个 X X X Y ⊆ Z ⊆ X Y\subseteq Z\subseteq X Y ⊆ Z ⊆ X Z Z Z φ \varphi φ M M M Z Z Z Ψ \Psi Ψ ( Z , Ψ ) (Z,\Psi) ( Z , Ψ ) ( Z 1 , Ψ 1 ) ≤ ( Z 2 , Ψ 2 ) (Z_1,\Psi_1)\le(Z_2,\Psi_2) ( Z 1 , Ψ 1 ) ≤ ( Z 2 , Ψ 2 ) Z 1 ⊆ Z 2 Z_1\subseteq Z_2 Z 1 ⊆ Z 2 Ψ 2 ∣ Z 1 = Ψ 1 \Psi_2|_{Z_1}=\Psi_1 Ψ 2 ∣ Z 1 = Ψ 1 ( Z ∗ , Φ ) (Z^*,\Phi) ( Z ∗ , Φ )
最后，若 Z ∗ ≠ X Z^*\ne X Z ∗ = X Z ∗ Z^* Z ∗ x 0 ∈ X ∖ Z ∗ x_0\in X\setminus Z^* x 0 ∈ X ∖ Z ∗ ( Z ∗ , Φ ) (Z^*,\Phi) ( Z ∗ , Φ ) Z ∗ = X Z^*=X Z ∗ = X Φ \Phi Φ X X X
大学 实际应用与典型例题 泛函分析是傅里叶分析与信号处理(信号生活在 L 2 [ 0 , 2 π ] L^2[0,2\pi] L 2 [ 0 , 2 π ] L 2 [ 0 , 1 ] L^2[0,1] L 2 [ 0 , 1 ] H H H
例题: 信号处理：当 n → ∞ n\to\infty n → ∞ sin ( n t ) \sin(nt) sin ( n t )
固定 f ∈ L 2 [ 0 , 2 π ] f\in L^2[0,2\pi] f ∈ L 2 [ 0 , 2 π ] n → ∞ n\to\infty n → ∞ ∫ 0 2 π f ( t ) sin ( n t ) d t → 0 \int_0^{2\pi} f(t)\sin(nt)\,dt\to 0 ∫ 0 2 π f ( t ) sin ( n t ) d t → 0 弱 意义下 sin ( n t ) ⇀ 0 \sin(nt)\rightharpoonup 0 sin ( n t ) ⇀ 0 ∥ sin ( n t ) ∥ 2 = π \|\sin(nt)\|_2=\sqrt{\pi} ∥ sin ( n t ) ∥ 2 = π sin ( n t ) \sin(nt) sin ( n t )
解答 考虑 L 2 [ 0 , 2 π ] L^2[0,2\pi] L 2 [ 0 , 2 π ] e n ( t ) = sin ( n t ) / π e_n(t)=\sin(nt)/\sqrt\pi e n ( t ) = sin ( n t ) / π n ≠ m n\ne m n = m ∫ 0 2 π sin ( n t ) sin ( m t ) d t = 0 \int_0^{2\pi}\sin(nt)\sin(mt)\,dt=0 ∫ 0 2 π sin ( n t ) sin ( m t ) d t = 0 ∫ 0 2 π sin 2 ( n t ) d t = π \int_0^{2\pi}\sin^2(nt)\,dt=\pi ∫ 0 2 π sin 2 ( n t ) d t = π
由贝塞尔不等式 ∑ n = 1 ∞ ∣ ⟨ f , e n ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ f ∥ 2 \sum_{n=1}^{\infty}|\langle f,e_n\rangle|^2\le\|f\|^2 ∑ n = 1 ∞ ∣ ⟨ f , e n ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ f ∥ 2 ∥ f ∥ 2 < ∞ \|f\|^2<\infty ∥ f ∥ 2 < ∞ f f f ∣ ⟨ f , e n ⟩ ∣ 2 → 0 |\langle f,e_n\rangle|^2\to0 ∣ ⟨ f , e n ⟩ ∣ 2 → 0 ⟨ f , e n ⟩ → 0 \langle f,e_n\rangle\to0 ⟨ f , e n ⟩ → 0
由于 ⟨ f , e n ⟩ = 1 π ∫ 0 2 π f ( t ) sin ( n t ) d t \langle f,e_n\rangle=\frac{1}{\sqrt\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt)\,dt ⟨ f , e n ⟩ = π 1 ∫ 0 2 π f ( t ) sin ( n t ) d t ∫ 0 2 π f ( t ) sin ( n t ) d t → 0 \int_0^{2\pi} f(t)\sin(nt)\,dt\to 0 ∫ 0 2 π f ( t ) sin ( n t ) d t → 0 黎曼–勒贝格引理 ，恰好就是命题 sin ( n t ) ⇀ 0 \sin(nt)\rightharpoonup 0 sin ( n t ) ⇀ 0
另一方面，直接计算得对所有 n n n ∥ sin ( n t ) ∥ 2 2 = ∫ 0 2 π sin 2 ( n t ) d t = π \|\sin(nt)\|_2^2=\int_0^{2\pi}\sin^2(nt)\,dt=\pi ∥ sin ( n t ) ∥ 2 2 = ∫ 0 2 π sin 2 ( n t ) d t = π n n n ∥ sin ( n t ) ∥ 2 = π \|\sin(nt)\|_2=\sqrt{\pi} ∥ sin ( n t ) ∥ 2 = π sin ( n t ) \sin(nt) sin ( n t ) f f f 0 0 0 0 0 0
例题: 统计与工程：作为正交投影的最小二乘回归
给定数据矩阵 A A A b b b x x x ∥ A x − b ∥ 2 \|Ax-b\|^2 ∥ A x − b ∥ 2 H = R n H=\mathbb{R}^n H = R n x ^ \hat x x ^ 正规方程 A T A x ^ = A T b A^{\mathsf T}A\hat x=A^{\mathsf T}b A T A x ^ = A T b
解答 所有可达输出组成的集合 { A x : x ∈ R n } \{Ax:x\in\mathbb{R}^n\} { A x : x ∈ R n } r a n ( A ) ⊆ R m \mathrm{ran}(A)\subseteq\mathbb{R}^m ran ( A ) ⊆ R m R m \mathbb{R}^m R m ∥ A x − b ∥ 2 \|Ax-b\|^2 ∥ A x − b ∥ 2 r a n ( A ) \mathrm{ran}(A) ran ( A ) b b b
由希尔伯特空间投影定理(与上面证明里斯表示定理所用的正交分解思想相同)，闭子空间中离 b b b A x ^ A\hat x A x ^ b − A x ^ b-A\hat x b − A x ^ 整个 子空间正交，即 ⟨ b − A x ^ , A v ⟩ = 0 ∀ v \langle b-A\hat x,\,Av\rangle=0\ \ \forall v ⟨ b − A x ^ , A v ⟩ = 0 ∀ v
注意当 v v v A v = A ( v 1 , … , v n ) Av=A(v_1,\dots,v_n) A v = A ( v 1 , … , v n ) A A A ⟨ b − A x ^ , A v ⟩ = 0 ∀ v \langle b-A\hat x,\,Av\rangle=0\ \ \forall v ⟨ b − A x ^ , A v ⟩ = 0 ∀ v A A A a j a_j a j j j j ⟨ b − A x ^ , a j ⟩ = 0 \langle b-A\hat x,a_j\rangle=0 ⟨ b − A x ^ , a j ⟩ = 0 A T ( b − A x ^ ) = 0 A^{\mathsf T}(b-A\hat x)=0 A T ( b − A x ^ ) = 0
展开得 A T b − A T A x ^ = 0 A^{\mathsf T}b-A^{\mathsf T}A\hat x=0 A T b − A T A x ^ = 0 A T A x ^ = A T b A^{\mathsf T}A\hat x=A^{\mathsf T}b A T A x ^ = A T b
常见错误. 不要把弱收敛 (sin ( n t ) ⇀ 0 \sin(nt)\rightharpoonup 0 sin ( n t ) ⇀ 0 y y y ⟨ x n , y ⟩ → ⟨ x , y ⟩ \langle x_n,y\rangle\to\langle x,y\rangle ⟨ x n , y ⟩ → ⟨ x , y ⟩ 强(范数)收敛 (∥ x n − x ∥ → 0 \|x_n-x\|\to0 ∥ x n − x ∥ → 0 sin ( n t ) ⇀ 0 \sin(nt)\rightharpoonup0 sin ( n t ) ⇀ 0 L 2 [ 0 , 2 π ] L^2[0,2\pi] L 2 [ 0 , 2 π ] n n n ∥ sin ( n t ) ∥ 2 = π ≠ 0 \|\sin(nt)\|_2=\sqrt\pi\ne0 ∥ sin ( n t ) ∥ 2 = π = 0 0 0 0 ∣ ⟨ x n − x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x n − x ∥ ∥ y ∥ → 0 |\langle x_n-x,y\rangle|\le\|x_n-x\|\|y\|\to0 ∣ ⟨ x n − x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x n − x ∥∥ y ∥ → 0 历史注记
大卫·希尔伯特在20世纪初对积分方程的研究——研究像 T f ( x ) = ∫ K ( x , y ) f ( y ) d y Tf(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy T f ( x ) = ∫ K ( x , y ) f ( y ) d y 希尔伯特空间 。与此同时，莫里斯·弗雷歇与弗里杰什·里斯发展了赋范空间与度量函数空间的抽象理论(里斯本人关于 L 2 [ 0 , 1 ] L^2[0,1] L 2 [ 0 , 1 ] 巴拿赫空间 的一般公理。正是约翰·冯·诺伊曼在1929–1932年关于量子力学数学基础的工作中，首次给出了完全抽象、独立于任何具体实现的希尔伯特空间公理化定义——这恰恰是因为他需要一个严格的框架，来证明海森堡的矩阵力学与薛定谔的波动力学其实是同一个 物理理论。
大卫·希尔伯特 约翰·冯·诺伊曼
研究 开放研究方向：无穷维空间的几何学 研究前沿 截至 2026 年
一个活跃的主要研究主题是里贝纲领 ：马丁·里贝(Martin Ribe)在1976年证明，一个巴拿赫空间的局部(有限维子空间)结构，令人惊讶地，完全由它作为度量空间 的结构所决定，而无需涉及线性结构。此后，研究者们(尤其是阿萨夫·纳奥尔及其合作者)致力于把经典的巴拿赫空间不变量——type、cotype、光滑性——翻译成纯度量的概念(metric type、metric cotype、Markov type)，使其对任意 度量空间都有意义，而不仅限于线性空间。这种非线性几何泛函分析如今直接影响理论计算机科学：一个度量空间能以多低的失真嵌入 ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 ℓ 1 \ell^1 ℓ 1
下列哪个巴拿赫空间不是 希尔伯特空间(其范数不是由内积诱导的)？
ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 带上确界范数的 C [ 0 , 1 ] C[0,1] C [ 0 , 1 ] L 2 [ 0 , 1 ] L^2[0,1] L 2 [ 0 , 1 ] 带点积的 R n \mathbb{R}^n R n 在希尔伯特空间中，若 ∥ x ∥ = 3 \|x\|=3 ∥ x ∥ = 3 ∥ y ∥ = 4 \|y\|=4 ∥ y ∥ = 4 ∥ x + y ∥ 2 + ∥ x − y ∥ 2 \|x+y\|^2+\|x-y\|^2 ∥ x + y ∥ 2 + ∥ x − y ∥ 2
里斯表示定理对希尔伯特空间 H H H φ \varphi φ
存在唯一的 y ∈ H y\in H y ∈ H x x x φ ( x ) = ⟨ x , y ⟩ \varphi(x)=\langle x,y\rangle φ ( x ) = ⟨ x , y ⟩ ∥ φ ∥ = ∥ y ∥ \|\varphi\|=\|y\| ∥ φ ∥ = ∥ y ∥ φ \varphi φ x x x φ \varphi φ H H H 在 sin ( n t ) \sin(nt) sin ( n t ) n → ∞ n\to\infty n → ∞ sin ( n t ) \sin(nt) sin ( n t ) f f f
因为 sin ( n t ) \sin(nt) sin ( n t ) 0 0 0 f f f ∥ sin ( n t ) ∥ 2 = π \|\sin(nt)\|_2=\sqrt{\pi} ∥ sin ( n t ) ∥ 2 = π 因为 sin ( n t ) \sin(nt) sin ( n t ) 0 0 0 因为 L 2 [ 0 , 2 π ] L^2[0,2\pi] L 2 [ 0 , 2 π ] 因为要使极限成立 f f f