里斯表示定理(希尔伯特空间情形)

若 $\varphi=0$，取 $y=0$ 即可。否则设 $N=\ker\varphi=\{x\in H:\varphi(x)=0\}$；由于 $\varphi$ 连续且线性，$N$ 是 $H$ 的一个闭的真子空间。因为 $H$ 是希尔伯特空间，投影定理给出正交分解 $H=N\oplus N^{\perp}$，又因 $N$ 是真子空间，$N^{\perp}$ 中存在某个 $z\ne0$。

对任意 $x\in H$，考虑向量 $u=\varphi(x)z-\varphi(z)x$。对其施加 $\varphi$ 得 $\varphi(u)=\varphi(x)\varphi(z)-\varphi(z)\varphi(x)=0$，故 $u\in N$。又因 $z\in N^{\perp}$，有 $\langle u,z\rangle=0$，即 $\varphi(x)\langle z,z\rangle-\varphi(z)\langle x,z\rangle=0$。解出 $\varphi(x)$ 得 $\varphi(x)=\dfrac{\varphi(z)}{\|z\|^2}\langle x,z\rangle=\left\langle x,\dfrac{\overline{\varphi(z)}}{\|z\|^2}z\right\rangle$，于是 $y=\dfrac{\overline{\varphi(z)}}{\|z\|^2}z$ 表示了 $\varphi$。

关于唯一性，若对所有 $x$ 都有 $\langle x,y_1\rangle=\langle x,y_2\rangle$，取 $x=y_1-y_2$ 得 $\|y_1-y_2\|^2=0$，故 $y_1=y_2$。关于范数等式，由柯西–施瓦茨得 $|\varphi(x)|=|\langle x,y\rangle|\le\|y\|\|x\|$，故 $\|\varphi\|\le\|y\|$；代入 $x=y$ 得 $\varphi(y)=\|y\|^2$，故 $\|\varphi\|\ge|\varphi(y)|/\|y\|=\|y\|$。综合两者得 $\|\varphi\|=\|y\|$。