吉巴德-萨特斯维特定理

证明概要（归约到阿罗定理）。 首先是一条单调性引理：若备选方案 $a$ 在某份资料下获胜，而资料的变化仅在于某些选民在自己的排序中把 $a$ 排得更靠前（其余方案的相对顺序不变），那么 $a$ 仍必须获胜。否则，真实排序为「之前」资料的某位选民就可以谎报为「之后」的资料，把 $a$ 从落败推向获胜，或反之——无论哪种情形都会与某人的策略无懈可击性相矛盾。

接下来，利用该选择函数为每份资料构造一个派生的社会排序：当从每位选民的选票中删去除 $a$ 和 $b$ 之外的所有方案、只剩下两者对决时，$a$ 仍然获胜，就在派生排序中把 $a$ 排在 $b$ 之上。利用原选择函数的满射性与策略无懈可击性，再结合单调性引理，可以验证这个派生排序作为一个社会福利函数满足无限制域、弱帕累托原则和无关方案独立性。

由阿罗不可能性定理，由于至少存在 $3$ 个备选方案，这个派生的社会排序必定是独裁的：某个选民 $i$ 的排序总是等于该派生社会排序。

最后，验证这同一位选民 $i$ 的首选方案总是原社会选择函数的获胜者：由于派生排序把 $i$ 最喜欢的方案排在其他所有方案之上，而派生排序又追踪的是两两比较中谁获胜，因此 $i$ 最喜欢的方案在每份资料下都必须是整体获胜者。于是，原本策略无懈可击且满射的社会选择函数被选民 $i$ 所独裁。