社会选择理论

帕累托原则和IIA听起来都很温和——应该存在某种聪明、非独裁的规则能同时满足两者，还能得出一个自洽的排序。阿罗定理表明这种直觉是错的：只要备选方案有 $3$ 个及以上，一旦还要求传递性，这两个条件加在一起就已经把全部聚合的力量集中到了单一选民身上。

证明概要（关键选民论证）。 固定三个备选方案 $a, b, c$。若在某份资料中，每位选民都把 $a$ 排在自己名单的最顶端或最底端（其余方案之间的顺序任意），就称 $a$ 在该资料中是「极端的」。利用弱帕累托原则和IIA的一个简短论证——每次让一个其他方案越过 $a$，并检验这样做若不违反帕累托原则、或不让排序依赖于 $a$ 所处的位置，就无法被阻止——可以证明：只要 $a$ 对每位选民都是极端的，社会自身的排序也必须把 $a$ 排在最顶端或最底端。

从每位选民都把 $a$ 排在最底端的资料出发；由弱帕累托原则，社会也把 $a$ 排在最底端。现在按固定顺序让选民逐一改为把 $a$ 排在最顶端，并在每一步都保持 $a$ 是极端的。由上述极端性事实，每一步社会对 $a$ 的排序仍是最顶端或最底端，而一旦所有人都换完，帕累托原则迫使其为最顶端。因此存在第一个选民，记为 $n^\ast$，其转换使社会对 $a$ 的排序从最底端翻转到最顶端——这就是关于 $a$ 的关键选民。

接下来证明 $n^\ast$ 在 $b$ 与 $c$ 之间也具有决定性——不仅仅是关于 $a$。构造一份新资料：其中 $n^\ast$ 把 $b$、$a$、$c$ 依次从高到低排序；在转换顺序中排在 $n^\ast$ 之前的选民把 $a$ 排在最顶端（因此他们对 $b, c$ 的相对排序可以任意设定）；其余选民把 $a$ 排在最底端。将此资料与用来定义关键性的两份资料比较，由IIA可得：社会把 $b$ 排在 $a$ 之上（来自 $a$ 在顶端一侧），把 $a$ 排在 $c$ 之上（来自 $a$ 在底端一侧），由传递性得 $b$ 排在 $c$ 之上——这恰好与 $n^\ast$ 本人对 $b$ 与 $c$ 的排序一致，无论其他人如何排序。

对每一对备选方案重复这一论证，就说明 $n^\ast$ 的偏好总是决定社会的偏好：$n^\ast$ 是一个独裁者。这与非独裁性相矛盾，因此不存在同时满足无限制域、弱帕累托原则和IIA却又不是独裁的规则。

排序式投票制度常被宣传为能抵抗策略性投票。吉巴德-萨特斯维特定理表明恰恰相反：只要某规则从 $3$ 个或更多备选方案中选出唯一获胜者、对每份资料都有定义、允许每个备选方案有时获胜，且不是独裁制，就必定存在某种情形，使某位选民能通过谎报自己的偏好而获益。

证明概要（归约到阿罗定理）。 首先是一条单调性引理：若备选方案 $a$ 在某份资料下获胜，而资料的变化仅在于某些选民在自己的排序中把 $a$ 排得更靠前（其余方案的相对顺序不变），那么 $a$ 仍必须获胜。否则，真实排序为「之前」资料的某位选民就可以谎报为「之后」的资料，把 $a$ 从落败推向获胜，或反之——无论哪种情形都会与某人的策略无懈可击性相矛盾。

接下来，利用该选择函数为每份资料构造一个派生的社会排序：当从每位选民的选票中删去除 $a$ 和 $b$ 之外的所有方案、只剩下两者对决时，$a$ 仍然获胜，就在派生排序中把 $a$ 排在 $b$ 之上。利用原选择函数的满射性与策略无懈可击性，再结合单调性引理，可以验证这个派生排序作为一个社会福利函数满足无限制域、弱帕累托原则和无关方案独立性。

由阿罗不可能性定理，由于至少存在 $3$ 个备选方案，这个派生的社会排序必定是独裁的：某个选民 $i$ 的排序总是等于该派生社会排序。

最后，验证这同一位选民 $i$ 的首选方案总是原社会选择函数的获胜者：由于派生排序把 $i$ 最喜欢的方案排在其他所有方案之上，而派生排序又追踪的是两两比较中谁获胜，因此 $i$ 最喜欢的方案在每份资料下都必须是整体获胜者。于是，原本策略无懈可击且满射的社会选择函数被选民 $i$ 所独裁。