单调收敛定理

设 $(a_n)$ 单调递增且有上界。由 $\mathbb{R}$ 的完备性公理,集合 $\{a_n : n\in\mathbb{N}^*\}$ 存在上确界 $L=\sup_n a_n$。

固定 $\varepsilon>0$。由于 $L$ 是最小上界,$L-\varepsilon$ 不是上界,故存在指标 $N$ 使得 $a_N>L-\varepsilon$。

因为 $(a_n)$ 单调递增,对任意 $n>N$ 都有 $a_n\ge a_N>L-\varepsilon$。又因为 $L$ 是整个数列的上界,对任意 $n$ 都有 $a_n\le L$。

综合两个不等式,对所有 $n>N$ 有 $L-\varepsilon<a_n\le L<L+\varepsilon$,即 $|a_n-L|<\varepsilon$。由于 $\varepsilon>0$ 任意,根据 ε–N 定义,$\lim_{n\to\infty} a_n = L$ 成立。$\blacksquare$