11 年级

数列的极限

当下标趋于无穷时,数列所趋近的值。

直观追逐数列直到无穷

考虑数列 $a_n=\frac{1}{n}$ : $1,\ 0.5,\ 0.333\ldots,\ 0.25,\ldots$ 各项从未真正等于 $0$ ,但当 $n$ 增大时,它们无限逼近 $0$ 。这种“永远趋近”正是数列极限所刻画的内容,也是无穷级数、迭代算法与复利计算背后的引擎。

等比数列的部分和

S_n=\sum_{k=0}^{n-1}u_1q^k

。拖动

n

,观察

S_n\to \frac{u_1}{1-q}

的过程。

中学严格定义

定义: 数列的极限(ε–N 定义)

若对任意小的 $\varepsilon>0$ ,都存在一个指标 $N$ ,使得从此以后所有项 $a_n$ 与 $L$ 的差都小于 $\varepsilon$ ,则称 $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ 。用符号写作: $\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*:\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\varepsilon$

\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*:\ \forall n>N,\ |a_n-L|<\varepsilon

这里 $\varepsilon$ (epsilon)是“怀疑者”选定的任意小误差, $N$ 是我们据此可以选择的“等待指标”,而 $|a_n-L|<\varepsilon$ 表示项 $a_n$ 落在带状区间 $(L-\varepsilon, L+\varepsilon)$ 内。这个定义就像一场博弈:无论怀疑者选多小的 $\varepsilon$ ,我们总能给出合适的 $N$ 。

S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{u_1}{1-q}

实践中常用的特殊极限
形式	结果
幂的倒数	$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0$ (当 $k>0$ )
等比衰减	当 $\|q\|<1$ 时 $\lim_{n\to\infty} q^n = 0$
常数列	$\lim_{n\to\infty} c = c$
多项式增长	当 $k>0$ 时 $\lim_{n\to\infty} n^k = +\infty$

大学两个支柱定理

定理: 单调收敛定理

若 $(a_n)$ 单调递增且有上界,则它收敛,且 $a_1\le a_2\le\cdots\le M\ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty}a_n=\sup_n a_n$ (单调递减且有下界时对称成立)。

为什么成立?

直观地说,一个只会上升却永远越不过“天花板”的数列,除了在天花板正下方稳定下来别无去处。

证明

设 $(a_n)$ 单调递增且有上界。由 $\mathbb{R}$ 的完备性公理,集合 $\{a_n : n\in\mathbb{N}^*\}$ 存在上确界 $L=\sup_n a_n$ 。

固定 $\varepsilon>0$ 。由于 $L$ 是最小上界, $L-\varepsilon$ 不是上界,故存在指标 $N$ 使得 $a_N>L-\varepsilon$ 。

因为 $(a_n)$ 单调递增,对任意 $n>N$ 都有 $a_n\ge a_N>L-\varepsilon$ 。又因为 $L$ 是整个数列的上界,对任意 $n$ 都有 $a_n\le L$ 。

综合两个不等式,对所有 $n>N$ 有 $L-\varepsilon<a_n\le L<L+\varepsilon$ ,即 $|a_n-L|<\varepsilon$ 。由于 $\varepsilon>0$ 任意,根据 ε–N 定义, $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ 成立。 $\blacksquare$

定理: 夹逼定理

若 $b_n\le a_n\le c_n,\ \lim b_n=\lim c_n=L\ \Rightarrow\ \lim a_n=L$ ,则同样有 $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ 。

为什么成立?

如果一个数列被两个都收敛到同一点的数列夹在中间,它就没有别的地方可去。

证明

设对所有充分大的 $n$ 有 $b_n\le a_n\le c_n$ ,且 $\lim b_n=\lim c_n=L$ 。

固定 $\varepsilon>0$ 。由 $\lim b_n=L$ ,存在 $N_1$ 使得当 $n>N_1$ 时 $L-\varepsilon<b_n<L+\varepsilon$ 。由 $\lim c_n=L$ ,存在 $N_2$ 使得当 $n>N_2$ 时 $L-\varepsilon<c_n<L+\varepsilon$ 。

令 $N=\max(N_1,N_2)$ 。对任意 $n>N$ ,结合 $b_n\le a_n\le c_n$ 与上述两个不等式得 $L-\varepsilon<b_n\le a_n\le c_n<L+\varepsilon$ ,从而 $L-\varepsilon<a_n<L+\varepsilon$ ,即 $|a_n-L|<\varepsilon$ 。

由于 $\varepsilon>0$ 任意,根据 ε–N 定义, $\lim_{n\to\infty} a_n=L$ 。 $\blacksquare$

大学实际应用与典型例题

数列极限支撑着金融中的等比级数(永续年金、分期还款)、物理学(反弹球损失的能量)、计算机科学(循环收敛、不动点迭代)以及数值分析(早于计算器就存在的求根算法,例如求平方根的巴比伦方法)。

例题

一个球从高度 $h_0=2$ 米自由落下。每次弹起的高度是前一次的 $q=0.6$ 倍( $|q|<1$ )。假设弹跳无限次,求球在最终静止前经过的总路程(下落与上升之和)。

解答

第一次下落贡献 $h_0$ 。此后,每次弹跳 $k=1,2,\ldots$ 贡献一段高度为 $h_0q^k$ 的“上升”和相同高度的“下降”,共贡献 $2h_0q^k$ 。

无限次弹跳求和是一个等比级数:利用首项为 $q$ 的 $S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{u_1}{1-q}$ ,得 $\sum_{k=1}^{\infty} 2h_0q^k = 2h_0\cdot\frac{q}{1-q}$ 。

总路程 $=h_0+2h_0\cdot\frac{q}{1-q}=h_0\cdot\frac{1-q+2q}{1-q}=h_0\cdot\frac{1+q}{1-q}$ 。

代入 $h_0=2$ 、 $q=0.6$ :总路程 $=2\cdot\frac{1.6}{0.4}=2\cdot 4=8$ 米。尽管球弹跳无限多次,总路程却是有限的——这正是等比级数极限的直接结果。

例题

考虑由 $u_1=1$ 和 $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)$ (求平方根的巴比伦/海伦算法)定义的数列。证明 $(u_n)$ 收敛并求其极限。

解答

首先证明有界性:由 AM–GM 不等式,对任意 $u_n>0$ ,有 $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)\ge\sqrt{u_n\cdot\frac{2}{u_n}}=\sqrt{2}$ ,故当 $n\ge 2$ 时 $u_n\ge\sqrt{2}$ 。

接着证明单调性:当 $n\ge 2$ 时,由 $u_n^2\ge 2$ 得 $u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\le 0$ 。因此 $(u_n)$ (从第 $2$ 项起)单调递减,且以 $\sqrt{2}$ 为下界。

由单调收敛定理, $(u_n)$ 收敛于某极限 $L$ 。对递推式两边取极限: $L=\frac{1}{2}\left(L+\frac{2}{L}\right)$ ,即 $2L=L+\frac{2}{L}$ ,故 $L^2=2$ ,于是 $L=\sqrt{2}$ (正根,因为所有 $u_n>0$ )。

数值上: $u_1=1,\ u_2=1.5,\ u_3\approx1.41667,\ u_4\approx1.414216$ ——仅三步之后就已精确到 $\sqrt{2}$ 的小数点后五位,展示了这一古老迭代算法收敛之快。

求 $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3}$ 。

当 $q=0.5$ 时, $\lim_{n\to\infty} q^n$ 等于多少?

一个无穷等比级数首项为 $u_1=3$ ,公比为 $q=\frac{1}{3}$ ,求其和。

除了单调性之外,还需要哪个条件才能保证数列有有限极限?

参考文献

James Stewart (2015). Calculus: Early Transcendentals
Judith V. Grabiner (1983). Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus