夹逼定理

设对所有充分大的 $n$ 有 $b_n\le a_n\le c_n$,且 $\lim b_n=\lim c_n=L$。

固定 $\varepsilon>0$。由 $\lim b_n=L$,存在 $N_1$ 使得当 $n>N_1$ 时 $L-\varepsilon<b_n<L+\varepsilon$。由 $\lim c_n=L$,存在 $N_2$ 使得当 $n>N_2$ 时 $L-\varepsilon<c_n<L+\varepsilon$。

令 $N=\max(N_1,N_2)$。对任意 $n>N$,结合 $b_n\le a_n\le c_n$ 与上述两个不等式得 $L-\varepsilon<b_n\le a_n\le c_n<L+\varepsilon$,从而 $L-\varepsilon<a_n<L+\varepsilon$,即 $|a_n-L|<\varepsilon$。

由于 $\varepsilon>0$ 任意,根据 ε–N 定义,$\lim_{n\to\infty} a_n=L$。$\blacksquare$