重要三角函数极限

在以 $O$ 为圆心的单位圆上取 $0<x<\frac{\pi}{2}$,设 $A=(1,0)$,圆上点 $B=(\cos x,\sin x)$,射线 $OB$ 与过 $A$ 的竖直切线交于 $T=(1,\tan x)$。

三角形 $\triangle OAB$ 严格包含于扇形 $OAB$ 内,而扇形又严格包含于直角三角形 $\triangle OAT$ 内。比较三者面积得 $\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x$。

由于在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上 $\sin x>0$,同乘 $\frac{2}{\sin x}$ 得 $1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$。取倒数后不等号反向:$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$。

当 $x\to 0^+$ 时 $\cos x\to 1$,由夹逼定理得 $\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1$。最后,$g(x)=\frac{\sin x}{x}$ 是偶函数($g(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=g(x)$),故 $\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}=1$ 也成立,合起来即得 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。$\blacksquare$