函数的极限

从左侧走廊与右侧走廊走向同一扇门,只有当两条走廊确实交汇于同一点时,才会到达同一个位置。

($\Rightarrow$) 设 $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$。对给定的 $\varepsilon>0$,由 ε–δ 定义存在 $\delta>0$ 使得 $0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$。

特别地,当 $x_0<x<x_0+\delta$(右侧条件)或 $x_0-\delta<x<x_0$(左侧条件)时,自动有 $0<|x-x_0|<\delta$,从而 $|f(x)-L|<\varepsilon$。因此左、右单侧极限都等于 $L$。

($\Leftarrow$) 反之,设左、右单侧极限都等于 $L$。对给定的 $\varepsilon>0$,由左极限存在 $\delta_1>0$ 在 $(x_0-\delta_1,x_0)$ 上成立,由右极限存在 $\delta_2>0$ 在 $(x_0,x_0+\delta_2)$ 上成立。

令 $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)>0$。则满足 $0<|x-x_0|<\delta$ 的任意 $x$ 必属于 $(x_0-\delta_1,x_0)$ 或 $(x_0,x_0+\delta_2)$,两种情形下都有 $|f(x)-L|<\varepsilon$。故 $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$。$\blacksquare$

在单位圆上,当角度趋向 $0$ 时,极小弧长 $x$、竖直半弦 $\sin x$ 与外侧切线段 $\tan x$ 在视觉上几乎重合。

在以 $O$ 为圆心的单位圆上取 $0<x<\frac{\pi}{2}$,设 $A=(1,0)$,圆上点 $B=(\cos x,\sin x)$,射线 $OB$ 与过 $A$ 的竖直切线交于 $T=(1,\tan x)$。

三角形 $\triangle OAB$ 严格包含于扇形 $OAB$ 内,而扇形又严格包含于直角三角形 $\triangle OAT$ 内。比较三者面积得 $\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x$。

由于在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上 $\sin x>0$,同乘 $\frac{2}{\sin x}$ 得 $1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$。取倒数后不等号反向:$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$。

当 $x\to 0^+$ 时 $\cos x\to 1$,由夹逼定理得 $\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1$。最后,$g(x)=\frac{\sin x}{x}$ 是偶函数($g(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=g(x)$),故 $\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}=1$ 也成立,合起来即得 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。$\blacksquare$