由单侧极限判定极限存在

($\Rightarrow$) 设 $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$。对给定的 $\varepsilon>0$,由 ε–δ 定义存在 $\delta>0$ 使得 $0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$。

特别地,当 $x_0<x<x_0+\delta$(右侧条件)或 $x_0-\delta<x<x_0$(左侧条件)时,自动有 $0<|x-x_0|<\delta$,从而 $|f(x)-L|<\varepsilon$。因此左、右单侧极限都等于 $L$。

($\Leftarrow$) 反之,设左、右单侧极限都等于 $L$。对给定的 $\varepsilon>0$,由左极限存在 $\delta_1>0$ 在 $(x_0-\delta_1,x_0)$ 上成立,由右极限存在 $\delta_2>0$ 在 $(x_0,x_0+\delta_2)$ 上成立。

令 $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)>0$。则满足 $0<|x-x_0|<\delta$ 的任意 $x$ 必属于 $(x_0-\delta_1,x_0)$ 或 $(x_0,x_0+\delta_2)$,两种情形下都有 $|f(x)-L|<\varepsilon$。故 $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$。$\blacksquare$