哥德尔第一不完备定理

为每个公式以及每个有限公式序列(候选证明)赋予唯一的自然数(哥德尔数);把关系“数 $y$ 编码了数 $x$ 所代表公式的一个证明”表示为可判定的算术关系 $\mathrm{Prf}(y,x)$;用对角线构造出一个命题 $G$,展开后断言 $\neg\exists y\, \mathrm{Prf}(y,\ulcorner G\urcorner)$(不存在编码 $G$ 之证明的数);再分别考察 $F\vdash G$ 与 $F\vdash\neg G$ 两种情形,前者与相容性矛盾,后者与 $\omega$-相容性(经罗瑟改进可弱化为普通相容性)矛盾,因此 $F$ 两者都无法证明,而 $G$ 本身为真。