伽玛函数插值阶乘

第一步(基础情形)。$\Gamma(1) = \int_0^\infty t^0 e^{-t}\,dt = \int_0^\infty e^{-t}\,dt = \big[-e^{-t}\big]_0^\infty = 0-(-1) = 1 = 0!$,故公式在 $n=0$ 时成立。

第二步(用分部积分得到递推关系)。对 $\operatorname{Re}(z) > 0$,取 $u=t^z$、$dv=e^{-t}\,dt$ 对 $\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$ 分部积分:$\Gamma(z+1) = \int_0^\infty t^z e^{-t}\,dt = \big[-t^z e^{-t}\big]_0^\infty + z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt = 0 + z\,\Gamma(z)$,这里用到边界项在两端都为零。这就证明了 $\Gamma(z+1) = z\,\Gamma(z)$。

第三步(归纳)。假设对某个非负整数 $k$ 有 $\Gamma(k+1) = k!$。由第二步取 $z=k+1$,得 $\Gamma(k+2) = (k+1)\,\Gamma(k+1) = (k+1)\cdot k! = (k+1)!$。

第四步(结论)。由于基础情形 $n=0$ 成立(第一步),且归纳步骤把等式从 $n=k$ 传递到 $n=k+1$(第三步),由数学归纳法,$\Gamma(n+1)=n!$ 对任意非负整数 $n$ 成立。