特殊函数

这表明伽玛积分并非随意的推广,而是唯一能再现阶乘乘法结构的光滑延拓,这正是它可以代入非整数的原因所在。

第一步(基础情形)。$\Gamma(1) = \int_0^\infty t^0 e^{-t}\,dt = \int_0^\infty e^{-t}\,dt = \big[-e^{-t}\big]_0^\infty = 0-(-1) = 1 = 0!$,故公式在 $n=0$ 时成立。

第二步(用分部积分得到递推关系)。对 $\operatorname{Re}(z) > 0$,取 $u=t^z$、$dv=e^{-t}\,dt$ 对 $\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$ 分部积分:$\Gamma(z+1) = \int_0^\infty t^z e^{-t}\,dt = \big[-t^z e^{-t}\big]_0^\infty + z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt = 0 + z\,\Gamma(z)$,这里用到边界项在两端都为零。这就证明了 $\Gamma(z+1) = z\,\Gamma(z)$。

第三步(归纳)。假设对某个非负整数 $k$ 有 $\Gamma(k+1) = k!$。由第二步取 $z=k+1$,得 $\Gamma(k+2) = (k+1)\,\Gamma(k+1) = (k+1)\cdot k! = (k+1)!$。

第四步(结论)。由于基础情形 $n=0$ 成立(第一步),且归纳步骤把等式从 $n=k$ 传递到 $n=k+1$(第三步),由数学归纳法,$\Gamma(n+1)=n!$ 对任意非负整数 $n$ 成立。

它把一个看起来纯代数的对象(两个伽玛值之比)与三角函数联系起来,恰好是使 $\Gamma$ 在非正整数处的极点与 $\sin(\pi z)$ 在所有整数处的零点对齐的恒等式——正是围道积分中的留数计算产生了右边的正弦函数。

第一步(化为贝塔函数)。取 $y=1-z$ 使用 $B(x,y) = \dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$,得 $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = B(z,1-z) = \int_0^1 t^{z-1}(1-t)^{-z}\,dt$。代换 $u = t/(1-t)$ 后,对 $0<\operatorname{Re}(z)<1$,这变为 $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{u^{z-1}}{1+u}\,du$。

第二步(设置钥匙孔形围道)。为计算 $I=\int_0^\infty \dfrac{u^{z-1}}{1+u}\,du$,取沿正实轴切开的 $w^{z-1}$ 分支,并沿钥匙孔形围道对 $\dfrac{w^{z-1}}{1+w}$ 积分:紧贴切口上方向外、半径为 $R$ 的大圆、紧贴切口下方返回,以及绕 $0$ 的半径为 $\varepsilon$ 的小圆。

第三步(唯一极点处的留数)。$\dfrac{w^{z-1}}{1+w}$ 在围道内部唯一的奇点是 $w=-1$ 处的单极点,在那里(用幅角为 $\pi$ 的分支)$\mathrm{Res} = (-1)^{z-1} = e^{i\pi(z-1)}$,故留数定理给出钥匙孔积分等于 $2\pi i\, e^{i\pi(z-1)}$。

第四步(比较切口两侧,令 $R\to\infty$、$\varepsilon\to 0$)。当 $0<\operatorname{Re}(z)<1$ 时大圆和小圆的贡献消失,两条直线段的差别在于 $w^{z-1}$ 穿过切口时获得的相位,由此得到 $I\big(1 - e^{2\pi i(z-1)}\big) = 2\pi i\, e^{i\pi(z-1)}$。解出 $I$ 并利用 $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ 化简指数,得 $I = \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$,结合第一步即得 $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$。