量子谐振子的离散谱

第一步（阶梯算符）。 令 $\hat a=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat X+\tfrac{i}{m\omega}\hat P\right)$，$\hat a^\dagger=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat X-\tfrac{i}{m\omega}\hat P\right)$。利用 $[\hat X,\hat P]=i\hbar$ 直接计算得 $[\hat a,\hat a^\dagger]=\tfrac{m\omega}{2\hbar}\left(\tfrac{-i}{m\omega}[\hat X,\hat P]+\tfrac{i}{m\omega}[\hat P,\hat X]\right)=\tfrac{1}{2\hbar}\left(\hbar+\hbar\right)=1$。

第二步（改写哈密顿量）。 反解得 $\hat X=\sqrt{\tfrac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a+\hat a^\dagger)$、$\hat P=i\sqrt{\tfrac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a^\dagger-\hat a)$；代入 $\hat H=\tfrac{\hat P^2}{2m}+\tfrac12 m\omega^2\hat X^2$ 并用 $[\hat a,\hat a^\dagger]=1$ 重排各项，得到 $\hat H=\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\tfrac12\right)$。定义数算符 $\hat N=\hat a^\dagger\hat a$，它是自伴的，且对任意态 $\phi$，$\langle\phi|\hat N|\phi\rangle=\|\hat a\phi\|^2\ge0$，故 $\hat N$ 的每个本征值 $n$ 都满足 $n\ge0$。

第三步（阶梯关系）。 由 $[\hat a,\hat a^\dagger]=1$ 得 $[\hat N,\hat a]=-\hat a$ 及 $[\hat N,\hat a^\dagger]=\hat a^\dagger$。因此若 $\hat N|n\rangle=n|n\rangle$，则由 $\hat N\hat a=\hat a\hat N-\hat a=\hat a(\hat N-1)$ 得 $\hat N(\hat a|n\rangle)=(n-1)(\hat a|n\rangle)$：$\hat a$ 把本征值降低 $1$（或使态湮灭），$\hat a^\dagger$ 把本征值升高 $1$。

第四步（终止与谱）。 因为 $\hat N\ge0$，对任意本征态反复作用 $\hat a$ 不可能产生小于 $0$ 的本征值；下降链 $n,n-1,n-2,\dots$ 必须在 $n=0$ 处终止（非整数的起始值会在有限步后强行产生负本征值，矛盾），故 $\hat N$ 的每个本征值都是非负整数，基态 $|0\rangle$ 满足 $\hat a|0\rangle=0$。对 $|0\rangle$ 反复作用 $\hat a^\dagger$，对每个 $n=0,1,2,\dots$ 都产生可归一化的本征态 $|n\rangle\propto(\hat a^\dagger)^n|0\rangle$，且不存在其他本征态。将 $\hat N|n\rangle=n|n\rangle$ 代入 $\hat H=\hbar\omega(\hat N+\tfrac12)$ 即得 $E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac12\right)$。