由不同实特征值给出的通解

首先验证 $e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ 满足该系统:其导数为 $\lambda_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$,而由 $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ 得 $A(e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i)=e^{\lambda_i t}A\mathbf{v}_i=e^{\lambda_i t}\lambda_i\mathbf{v}_i$;两边相符,故对 $i=1,2$ 它确实是解。

$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 的线性无关性:设 $c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$。两边作用 $A$ 得 $c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+c_2\lambda_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$。将第一式乘以 $\lambda_2$ 后相减,得 $c_1(\lambda_1-\lambda_2)\mathbf{v}_1=\mathbf{0}$;由于 $\lambda_1\neq\lambda_2$ 且 $\mathbf{v}_1\neq\mathbf{0}$,故 $c_1=0$,进而 $c_2=0$。因此 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 线性无关。

由系统的线性性(与标量情形完全相同),任意组合 $c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$ 都满足该系统。由于 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 线性无关,匹配任意初始条件 $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$ 等价于求解 $(c_1,c_2)$ 使 $c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{x}_0$,由于 $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ 是平面的一组基,该方程有唯一解。因此每个解都被涵盖,通解为 $\mathbf{x}(t)=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$。