微分方程组

特征向量把耦合系统变成沿特征方向的两个非耦合标量方程:每个 $e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ 完全沿 $\mathbf{v}_i$ 张成的直线运动,以速率 $\lambda_i$ 增长或衰减,所以整体运动是两个独立直线运动的混合。

首先验证 $e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ 满足该系统:其导数为 $\lambda_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$,而由 $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ 得 $A(e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i)=e^{\lambda_i t}A\mathbf{v}_i=e^{\lambda_i t}\lambda_i\mathbf{v}_i$;两边相符,故对 $i=1,2$ 它确实是解。

$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 的线性无关性:设 $c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$。两边作用 $A$ 得 $c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+c_2\lambda_2\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$。将第一式乘以 $\lambda_2$ 后相减,得 $c_1(\lambda_1-\lambda_2)\mathbf{v}_1=\mathbf{0}$;由于 $\lambda_1\neq\lambda_2$ 且 $\mathbf{v}_1\neq\mathbf{0}$,故 $c_1=0$,进而 $c_2=0$。因此 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 线性无关。

由系统的线性性(与标量情形完全相同),任意组合 $c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$ 都满足该系统。由于 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 线性无关,匹配任意初始条件 $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$ 等价于求解 $(c_1,c_2)$ 使 $c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\mathbf{x}_0$,由于 $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}$ 是平面的一组基,该方程有唯一解。因此每个解都被涵盖,通解为 $\mathbf{x}(t)=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2$。

$A$ 的迹与行列式分别是其特征值之和与之积——因此该定理把关于二次方程根的命题(两根实部均为负)转化为关于两个易于计算的数的命题,而无需显式求解特征值。

由特征多项式的定义,$\lambda^2-(\text{tr}\,A)\lambda+\det A=0$ 的根为 $\lambda_{1,2}=\dfrac{\text{tr}\,A\pm\sqrt{(\text{tr}\,A)^2-4\det A}}{2}$,由韦达定理 $\lambda_1+\lambda_2=\text{tr}\,A$,$\lambda_1\lambda_2=\det A$。

若 $\det A<0$,则 $\lambda_1\lambda_2<0$,故特征值为实数且异号(鞍点);解沿正特征值方向无限增长,故原点不稳定。

若 $\det A>0$ 且 $\text{tr}\,A<0$:当特征值为实数时,$\lambda_1\lambda_2>0$ 意味着同号,而 $\lambda_1+\lambda_2<0$ 迫使该符号为负,故 $e^{\lambda_1t}\to 0$ 与 $e^{\lambda_2t}\to 0$ 均成立;当特征值为共轭复数 $\alpha\pm i\beta$ 时,$\text{tr}\,A=2\alpha<0$ 给出 $\alpha<0$,故振幅因子 $e^{\alpha t}\to 0$,而 $\cos(\beta t),\sin(\beta t)$ 保持有界。在每种子情形下,每个解都衰减到 $\mathbf{0}$:渐近稳定。

反之若 $\text{tr}\,A>0$(此时 $\det A>0$,实特征值与迹同号,或复特征值实部为正),则至少一个指数因子增长,从接近但不在原点的地方出发的解会远离原点:不稳定。这涵盖了所有符号组合,证明了该等价性。