迹-行列式稳定性判据

由特征多项式的定义,$\lambda^2-(\text{tr}\,A)\lambda+\det A=0$ 的根为 $\lambda_{1,2}=\dfrac{\text{tr}\,A\pm\sqrt{(\text{tr}\,A)^2-4\det A}}{2}$,由韦达定理 $\lambda_1+\lambda_2=\text{tr}\,A$,$\lambda_1\lambda_2=\det A$。

若 $\det A<0$,则 $\lambda_1\lambda_2<0$,故特征值为实数且异号(鞍点);解沿正特征值方向无限增长,故原点不稳定。

若 $\det A>0$ 且 $\text{tr}\,A<0$:当特征值为实数时,$\lambda_1\lambda_2>0$ 意味着同号,而 $\lambda_1+\lambda_2<0$ 迫使该符号为负,故 $e^{\lambda_1t}\to 0$ 与 $e^{\lambda_2t}\to 0$ 均成立;当特征值为共轭复数 $\alpha\pm i\beta$ 时,$\text{tr}\,A=2\alpha<0$ 给出 $\alpha<0$,故振幅因子 $e^{\alpha t}\to 0$,而 $\cos(\beta t),\sin(\beta t)$ 保持有界。在每种子情形下,每个解都衰减到 $\mathbf{0}$:渐近稳定。

反之若 $\text{tr}\,A>0$(此时 $\det A>0$,实特征值与迹同号,或复特征值实部为正),则至少一个指数因子增长,从接近但不在原点的地方出发的解会远离原点:不稳定。这涵盖了所有符号组合,证明了该等价性。