椭圆情形正是双曲几何的克莱因模型

沿直径。 取 $x=0$，$y=(r,0,\dots,0)$，$0<r<1$。过这两点的直线与 $\partial\mathbb{B}$ 交于 $a=(-1,0,\dots,0)$ 与 $b=(1,0,\dots,0)$，故 $|ay|=1+r$、$|ax|=1$、$|bx|=1$、$|by|=1-r$，得 $d_{\mathbb{B}}(0,y)=\frac12\ln\frac{1+r}{1-r}=\operatorname{artanh}(r)$。这恰好与曲率 $-1$ 的贝尔特拉米–克莱因模型中从中心到欧氏半径 $r$ 处的点的标准双曲距离公式一致。

不在直径上的情形。 对一般的 $x,y\in\mathbb{B}$，选取一个旋转 $R\in O(n)$（固定 $0$ 的球的等距变换），把过 $x,y$ 的直线搬到某坐标轴上；由于 $R$ 保持 $\mathbb{B}$ 不变，并把四点 $a,x,y,b$ 映为交比相同的另外四点，故 $d_{\mathbb{B}}(x,y)=d_{\mathbb{B}}(Rx,Ry)$；再借助 $\mathbb{B}$ 的一个双曲等距（保持 $\mathbb{B}$ 不变、同样保持交比的莫比乌斯变换）把其中一点平移到 $0$，即化归为上面已算出的直径情形。由此得到的公式恰好就是贝尔特拉米–克莱因距离公式，故 $(\mathbb{B},d_{\mathbb{B}})$ 与 $n$ 维双曲空间等距。

一般椭球。 设 $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 为满足 $T(\mathbb{B})=E$ 的可逆线性（或仿射）映射。仿射映射是 $\mathbb{RP}^n$ 中固定无穷远超平面的射影变换，而共线点的交比在一切射影变换下都不变；由于 $T$ 把过 $x,y\in\mathbb{B}$ 的直线映为过 $Tx,Ty\in E$ 的直线，把边界对 $a,b$ 映为 $E$ 的边界对 $Ta,Tb$，因此把定义用的四元组映为定义用的四元组，故 $[a,x,y,b]=[Ta,Tx,Ty,Tb]$，从而对一切 $x,y$ 都有 $d_E(Tx,Ty)=d_{\mathbb{B}}(x,y)$。因此 $T:(\mathbb{B},d_{\mathbb{B}})\to(E,d_E)$ 是一个等距映射，$(E,d_E)$ 同样是 $n$ 维双曲空间。