希尔伯特几何

公式 $d_\Omega(x,y) = \frac12\ln[a,x,y,b]$ 在同时交换 $x$ 与 $y$、$a$ 与 $b$ 的角色时保持对称，因为重新标号会使 $\frac{|ay||bx|}{|ax||by|}$ 变回自身；又因为 $a<x<y<b$ 迫使 $|ay|>|ax|$ 且 $|bx|>|by|$，交比就是两个都大于 $1$ 的数之积，故恰在 $x\neq y$ 时其值超过 $1$，从而使 $d_\Omega$ 在对角线之外严格为正。沿固定直线的可加性实质上是实数直线上普通数的一条陈述：由同一对边界点 $a,b$ 计算出的交比在插入第三个共线点时会像多米诺骨牌一样连乘，取对数就把这种连乘变成了求和——这正是你可以在一条线段上任取三点用数值直接验证的现象。

对称性与正性。 记 $[a,x,y,b]=\frac{|ay|}{|ax|}\cdot\frac{|bx|}{|by|}$。由于直线上 $a<x<y<b$，有 $|ay|=|ax|+|xy|>|ax|$ 且 $|bx|=|by|+|xy|>|by|$，故当 $x\ne y$ 时两个因子都大于 $1$，从而 $[a,x,y,b]>1$，$d_\Omega(x,y)>0$；当 $x=y$ 时两个因子都等于 $1$。将标号改为 $(x,y,a,b)\mapsto(y,x,b,a)$ 会把 $\frac{|ay||bx|}{|ax||by|}$ 变为 $\frac{|bx||ay|}{|by||ax|}$，即同一个数，故 $d_\Omega(x,y)=d_\Omega(y,x)$。

沿直线的可加性。 设 $x,y,z$ 共线且 $y$ 在 $x$ 与 $z$ 之间，$a,b$ 为该直线上（共同的）边界交点。将直线上全部四个一维距离写出，$$[a,x,y,b]\cdot[a,y,z,b]=\frac{|ay|}{|ax|}\frac{|bx|}{|by|}\cdot\frac{|az|}{|ay|}\frac{|by|}{|bz|}=\frac{|az|}{|ax|}\frac{|bx|}{|bz|}=[a,x,z,b],$$ 这是因为因子 $|ay|$ 与 $|by|$ 相互抵消。对两边取 $\frac12\ln$ 得 $d_\Omega(x,y)+d_\Omega(y,z)=d_\Omega(x,z)$，这恰是三角不等式取等号的情形，因此直线段 $[x,z]$ 实现了希尔伯特距离，是一条测地线。

非共线情形的三角不等式。 当 $x,y,z$ 不共线时，需要用到 $\Omega$ 的凸性：将 $(x,z)$ 这一对通过 $y$ 投影，所得到的相关交比总不小于直接从 $x$ 到 $z$ 的情形，因为从 $y$ 看到的边界点不会比沿 $xz$ 直接看到的边界点更靠近 $x$ 或 $z$——借助 $\Omega$ 的凸性仔细证明这一单调性，即可在一般情形下得到 $d_\Omega(x,z)\le d_\Omega(x,y)+d_\Omega(y,z)$（见 Hilbert 1895；完整推导见 Handbook of Hilbert Geometry 第1章）。

希尔伯特的交比构造，正是阿瑟·凯莱与费利克斯·克莱因数十年前在一条圆锥曲线内部构造双曲几何射影模型时所用的同一种构造——希尔伯特1895年写给克莱因的信指出，真正使交比公式定义出度量的是 $\Omega$ 的凸性，而非圆锥曲线特殊的二次形状。因此，把他的一般构造特殊化回 $\Omega=\mathbb{B}$ 便恰好重现了凯莱与克莱因的构造，这正是椭圆成为唯一一种使希尔伯特几何不只是‘类似双曲’、而是真正就是双曲几何的形状的原因。

沿直径。 取 $x=0$，$y=(r,0,\dots,0)$，$0<r<1$。过这两点的直线与 $\partial\mathbb{B}$ 交于 $a=(-1,0,\dots,0)$ 与 $b=(1,0,\dots,0)$，故 $|ay|=1+r$、$|ax|=1$、$|bx|=1$、$|by|=1-r$，得 $d_{\mathbb{B}}(0,y)=\frac12\ln\frac{1+r}{1-r}=\operatorname{artanh}(r)$。这恰好与曲率 $-1$ 的贝尔特拉米–克莱因模型中从中心到欧氏半径 $r$ 处的点的标准双曲距离公式一致。

不在直径上的情形。 对一般的 $x,y\in\mathbb{B}$，选取一个旋转 $R\in O(n)$（固定 $0$ 的球的等距变换），把过 $x,y$ 的直线搬到某坐标轴上；由于 $R$ 保持 $\mathbb{B}$ 不变，并把四点 $a,x,y,b$ 映为交比相同的另外四点，故 $d_{\mathbb{B}}(x,y)=d_{\mathbb{B}}(Rx,Ry)$；再借助 $\mathbb{B}$ 的一个双曲等距（保持 $\mathbb{B}$ 不变、同样保持交比的莫比乌斯变换）把其中一点平移到 $0$，即化归为上面已算出的直径情形。由此得到的公式恰好就是贝尔特拉米–克莱因距离公式，故 $(\mathbb{B},d_{\mathbb{B}})$ 与 $n$ 维双曲空间等距。

一般椭球。 设 $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 为满足 $T(\mathbb{B})=E$ 的可逆线性（或仿射）映射。仿射映射是 $\mathbb{RP}^n$ 中固定无穷远超平面的射影变换，而共线点的交比在一切射影变换下都不变；由于 $T$ 把过 $x,y\in\mathbb{B}$ 的直线映为过 $Tx,Ty\in E$ 的直线，把边界对 $a,b$ 映为 $E$ 的边界对 $Ta,Tb$，因此把定义用的四元组映为定义用的四元组，故 $[a,x,y,b]=[Ta,Tx,Ty,Tb]$，从而对一切 $x,y$ 都有 $d_E(Tx,Ty)=d_{\mathbb{B}}(x,y)$。因此 $T:(\mathbb{B},d_{\mathbb{B}})\to(E,d_E)$ 是一个等距映射，$(E,d_E)$ 同样是 $n$ 维双曲空间。