希尔伯特距离是真正的度量，直线段是测地线

对称性与正性。 记 $[a,x,y,b]=\frac{|ay|}{|ax|}\cdot\frac{|bx|}{|by|}$。由于直线上 $a<x<y<b$，有 $|ay|=|ax|+|xy|>|ax|$ 且 $|bx|=|by|+|xy|>|by|$，故当 $x\ne y$ 时两个因子都大于 $1$，从而 $[a,x,y,b]>1$，$d_\Omega(x,y)>0$；当 $x=y$ 时两个因子都等于 $1$。将标号改为 $(x,y,a,b)\mapsto(y,x,b,a)$ 会把 $\frac{|ay||bx|}{|ax||by|}$ 变为 $\frac{|bx||ay|}{|by||ax|}$，即同一个数，故 $d_\Omega(x,y)=d_\Omega(y,x)$。

沿直线的可加性。 设 $x,y,z$ 共线且 $y$ 在 $x$ 与 $z$ 之间，$a,b$ 为该直线上（共同的）边界交点。将直线上全部四个一维距离写出，$$[a,x,y,b]\cdot[a,y,z,b]=\frac{|ay|}{|ax|}\frac{|bx|}{|by|}\cdot\frac{|az|}{|ay|}\frac{|by|}{|bz|}=\frac{|az|}{|ax|}\frac{|bx|}{|bz|}=[a,x,z,b],$$ 这是因为因子 $|ay|$ 与 $|by|$ 相互抵消。对两边取 $\frac12\ln$ 得 $d_\Omega(x,y)+d_\Omega(y,z)=d_\Omega(x,z)$，这恰是三角不等式取等号的情形，因此直线段 $[x,z]$ 实现了希尔伯特距离，是一条测地线。

非共线情形的三角不等式。 当 $x,y,z$ 不共线时，需要用到 $\Omega$ 的凸性：将 $(x,z)$ 这一对通过 $y$ 投影，所得到的相关交比总不小于直接从 $x$ 到 $z$ 的情形，因为从 $y$ 看到的边界点不会比沿 $xz$ 直接看到的边界点更靠近 $x$ 或 $z$——借助 $\Omega$ 的凸性仔细证明这一单调性，即可在一般情形下得到 $d_\Omega(x,z)\le d_\Omega(x,y)+d_\Omega(y,z)$（见 Hilbert 1895；完整推导见 Handbook of Hilbert Geometry 第1章）。