点的幂定理

第1步:构造相似三角形。 设过 $P$ 的两条直线分别与圆交于 $A,B$ 和 $C,D$。由于 $A,B,C,D$ 共圆,圆周角 $\angle PAC$ 与 $\angle PDB$ 对着同一段弧 $BC$(或依配置对其补弧),故 $\angle PAC = \angle PDB$。

第2步:匹配第二对角。 三角形 $PAC$ 在 $P$ 处的角与三角形 $PDB$ 在 $P$ 处的角,要么相等(若 $P$ 在圆外,两直线共用顶点 $P$,该角本就是同一个角),要么是对顶角(若 $P$ 在圆内)。无论哪种情况都有 $\angle APC = \angle DPB$。

第3步:得出相似。 三角形 $PAC$ 与 $PDB$ 有两对相等的角,故由角角(AA)判定相似:$\triangle PAC \sim \triangle PDB$。

第4步:提取比例式。 相似三角形给出对应边成比例:$\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$,整理得 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$(先用无符号长度,针对 $P$ 在圆外的情形)。

第5步:通过直径计算公共值。 选取过 $P$ 与圆心 $O$ 的特定直线,与圆交于直径上的两点,到 $P$ 的带符号距离为 $OP - r$ 与 $OP + r$(设 $P$ 在圆外,故 $OP > r$)。其乘积为 $(OP-r)(OP+r) = OP^2 - r^2$,由第4步知这必须等于过 $P$ 的每条直线的 $PA \cdot PB$。

**第6步:用带符号长度处理 $P$ 在圆内的情形。** 当 $P$ 在圆内时,弦上 $A,P,B$ 按此顺序排列,故 $\overrightarrow{PA}$ 与 $\overrightarrow{PB}$ 方向相反,带符号乘积 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} = -PA\cdot PB$ 为负;对过 $P$ 的直径重复第1–5步得 $-PA\cdot PB = OP^2-r^2$(此时为负,因 $OP<r$),故恒等式 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=OP^2-r^2$ 在带符号意义下一致成立,证明完成。