奥数几何

该定理是奥数几何中被重复使用最多的工具:它把任何含有两条割线、一条切线加一条割线,或过一点的两条弦的图形都转化为一个代数方程,避免了逐情形的角度追踪。

第1步:构造相似三角形。 设过 $P$ 的两条直线分别与圆交于 $A,B$ 和 $C,D$。由于 $A,B,C,D$ 共圆,圆周角 $\angle PAC$ 与 $\angle PDB$ 对着同一段弧 $BC$(或依配置对其补弧),故 $\angle PAC = \angle PDB$。

第2步:匹配第二对角。 三角形 $PAC$ 在 $P$ 处的角与三角形 $PDB$ 在 $P$ 处的角,要么相等(若 $P$ 在圆外,两直线共用顶点 $P$,该角本就是同一个角),要么是对顶角(若 $P$ 在圆内)。无论哪种情况都有 $\angle APC = \angle DPB$。

第3步:得出相似。 三角形 $PAC$ 与 $PDB$ 有两对相等的角,故由角角(AA)判定相似:$\triangle PAC \sim \triangle PDB$。

第4步:提取比例式。 相似三角形给出对应边成比例:$\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$,整理得 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$(先用无符号长度,针对 $P$ 在圆外的情形)。

第5步:通过直径计算公共值。 选取过 $P$ 与圆心 $O$ 的特定直线,与圆交于直径上的两点,到 $P$ 的带符号距离为 $OP - r$ 与 $OP + r$(设 $P$ 在圆外,故 $OP > r$)。其乘积为 $(OP-r)(OP+r) = OP^2 - r^2$,由第4步知这必须等于过 $P$ 的每条直线的 $PA \cdot PB$。

**第6步:用带符号长度处理 $P$ 在圆内的情形。** 当 $P$ 在圆内时,弦上 $A,P,B$ 按此顺序排列,故 $\overrightarrow{PA}$ 与 $\overrightarrow{PB}$ 方向相反,带符号乘积 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} = -PA\cdot PB$ 为负;对过 $P$ 的直径重复第1–5步得 $-PA\cdot PB = OP^2-r^2$(此时为负,因 $OP<r$),故恒等式 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=OP^2-r^2$ 在带符号意义下一致成立,证明完成。

托勒密定理为任何圆内接四边形给出精确的代数恒等式,其不等式形式($AC \cdot BD \le AB\cdot CD + AD\cdot BC$,对任意四边形成立,等号当且仅当内接于圆时取得)是既证明四点共圆又推导诸如正弦加法公式之类三角恒等式的快捷方法。

第1步:构造辅助点。 在对角线 $AC$ 上构造点 $K$,使得 $\angle ABK = \angle DBC$(即射线 $BK$ 与 $BA$ 所成的角等于 $BD$ 与 $BC$ 所成的角),取 $K$ 在线段 $AC$ 上。

第2步:找出第一对相似三角形。 因为 $ABCD$ 内接于圆,$\angle BAC = \angle BDC$(同对弧 $BC$)。结合构造得到的 $\angle ABK = \angle DBC$,三角形 $ABK$ 与 $DBC$ 有两个相等的角,故由角角相似 $\triangle ABK \sim \triangle DBC$。

第3步:得出第一个关系式。 由 $\triangle ABK \sim \triangle DBC$:$\frac{AK}{DC} = \frac{AB}{DB}$,故 $AK \cdot DB = AB \cdot DC$。

第4步:找出第二对相似三角形。 因为 $ABCD$ 内接于圆,$\angle ABD = \angle ACD$(同对弧 $AD$)。考察三角形 $KBC$ 与 $ABD$:$\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = \angle ABC - \angle DBC = \angle ABD$(因 $K$ 在线段 $AC$ 上),且 $\angle BCK = \angle BCA = \angle BDA$(同对弧 $AB$),故由角角相似 $\triangle KBC \sim \triangle ABD$。

第5步:得出第二个关系式。 由 $\triangle KBC \sim \triangle ABD$:$\frac{KC}{AD} = \frac{BC}{BD}$,故 $KC \cdot BD = AD \cdot BC$。

第6步:相加两个关系式。 将第3步与第5步的结果相加:$AK\cdot DB + KC\cdot BD = AB\cdot DC + AD\cdot BC$,即 $BD(AK+KC) = AB\cdot DC + AD\cdot BC$。因 $K$ 在线段 $AC$ 上,$AK+KC=AC$,恰好得到 $AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC$。