托勒密定理

第1步:构造辅助点。 在对角线 $AC$ 上构造点 $K$,使得 $\angle ABK = \angle DBC$(即射线 $BK$ 与 $BA$ 所成的角等于 $BD$ 与 $BC$ 所成的角),取 $K$ 在线段 $AC$ 上。

第2步:找出第一对相似三角形。 因为 $ABCD$ 内接于圆,$\angle BAC = \angle BDC$(同对弧 $BC$)。结合构造得到的 $\angle ABK = \angle DBC$,三角形 $ABK$ 与 $DBC$ 有两个相等的角,故由角角相似 $\triangle ABK \sim \triangle DBC$。

第3步:得出第一个关系式。 由 $\triangle ABK \sim \triangle DBC$:$\frac{AK}{DC} = \frac{AB}{DB}$,故 $AK \cdot DB = AB \cdot DC$。

第4步:找出第二对相似三角形。 因为 $ABCD$ 内接于圆,$\angle ABD = \angle ACD$(同对弧 $AD$)。考察三角形 $KBC$ 与 $ABD$:$\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = \angle ABC - \angle DBC = \angle ABD$(因 $K$ 在线段 $AC$ 上),且 $\angle BCK = \angle BCA = \angle BDA$(同对弧 $AB$),故由角角相似 $\triangle KBC \sim \triangle ABD$。

第5步:得出第二个关系式。 由 $\triangle KBC \sim \triangle ABD$:$\frac{KC}{AD} = \frac{BC}{BD}$,故 $KC \cdot BD = AD \cdot BC$。

第6步:相加两个关系式。 将第3步与第5步的结果相加:$AK\cdot DB + KC\cdot BD = AB\cdot DC + AD\cdot BC$,即 $BD(AK+KC) = AB\cdot DC + AD\cdot BC$。因 $K$ 在线段 $AC$ 上,$AK+KC=AC$,恰好得到 $AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC$。