Hopf–Rinow定理

(i) $\Rightarrow$ 最小测地线的存在性:固定 $p,q \in M$,令 $r = d(p,q)$。小的度量球面 $S_\varepsilon(p)$ 是紧的,因此连续函数 $x \mapsto d(x,q)$ 在其上某点 $x_0 = \gamma(\varepsilon)$ 处取得最小值,其中 $\gamma$ 是从 $p$ 经过 $x_0$ 的单位速度测地线(由测地完备性,它对所有时间都有定义)。可以证明 $d(\gamma(\varepsilon),q) = r-\varepsilon$,再将其推广到集合 $A = \{t \in [0,r] : d(\gamma(t),q) = r-t\}$:由连续性,$A$ 非空且闭;对满足 $t_0<r$ 的任意 $t_0 \in A$,在 $\gamma(t_0)$ 处重复同样的最小球面论证,可证明 $A$ 在 $[0,r]$ 中也是开的,故 $A=[0,r]$,从而 $\gamma(r)=q$。

(i) $\Rightarrow$ (ii):对 $M$ 中的柯西列 $(x_n)$,上述论证表明任意两个足够接近的点都可由一条长度等于其间距离的最小测地线相连;固定点周围的闭度量球是指数映射下 $T_pM$ 中闭球的连续像,因而是紧的,所以柯西列最终落在某个紧集内并收敛。

(ii) $\Rightarrow$ (iii):度量完备性连同局部紧性(每个黎曼流形都是局部紧的)蕴含闭球是完全有界且完备的,因而根据度量空间中紧性的标准刻画是紧的;一般的闭且有界集合是某个闭球的闭子集,因而作为紧集的闭子集也是紧的。

(iii) $\Rightarrow$ (i):假设单位速度测地线 $\gamma$ 只在极大区间 $[0,T)$(其中 $T<\infty$)上有定义。当 $t \to T^-$ 时,$\gamma(t)$ 始终位于以 $\gamma(0)$ 为中心、半径为 $T$ 的闭球内,由 (iii) 知该闭球是紧的;于是满足 $t_n \to T$ 的序列 $\gamma(t_n)$ 有收敛子列,而测地线常微分方程(具有光滑系数的二阶方程组)的标准存在性理论表明,解可以光滑地延拓超过 $T$,这与 $T$ 的极大性矛盾。因此每条测地线都能延拓到整个 $\mathbb{R}$。