高斯-博内定理

用测地三角形(边为曲面上最短路径的三角形)对 $M$ 进行三角剖分,得到 $V$ 个顶点、$E$ 条边和 $F$ 个面,它们满足 $\chi(M) = V - E + F$。

对内角为 $\alpha,\beta,\gamma$ 的单个测地三角形 $T$,局部高斯-博内公式为 $\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi$:内角和超出欧几里得值 $\pi$ 的部分恰好等于该三角形上曲率的积分,这一事实可由对沿三角形边界平行移动的切向量的旋转应用斯托克斯定理得到。

对所有 $F$ 个三角形求和 $\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi$,得到 $\int_M K\,dA = 2\pi V - \pi F$:在 $V$ 个顶点中每一个顶点处相遇的三角形恰好拼成一整圈 $2\pi$,因此所有角之和为 $2\pi V$,而 $F$ 个三角形中每一个都贡献一个 $-\pi$。

每个三角形有 $3$ 条边,每条边恰好被 $2$ 个三角形共享,所以 $3F = 2E$。将 $E = \frac{3F}{2}$ 代入 $\chi(M) = V - E + F$ 得到 $2\pi\chi(M) = 2\pi V - \pi F$,这与前一步的结果完全吻合。因此 $\int_M K\,dA = 2\pi\chi(M)$,定理得证。