几何学

微分几何

运用微积分研究曲线和曲面的曲率、测地线等局部性质。

直观直觉:用微积分测量曲率

一张平整的纸可以不拉伸地卷成圆柱,但无论如何都不能不撕裂或起皱地平滑包住一个球面。微分几何用附着在曲线或曲面每一点上的一个数——曲率——来解释这种差异。通过对参数化的曲线或曲面运用微积分(求导与积分),我们可以仅凭站在曲面上就能做出的测量,精确地衡量它弯曲、扭转以及偏离平坦的程度。

圆环面的高斯曲率

K

在绕管移动时会变号:外缘为正,内缘为负,而在曲面暂时变平的两条圆周上为零。

中学从平面曲线到Frenet–Serret标架

定义: 曲线的曲率

对于空间中的光滑曲线 $\mathbf{r}(t)$ ,曲率 $\kappa$ 衡量单位切向量每单位弧长转动的快慢。直线处处满足 $\kappa = 0$ ;半径为 $R$ 的圆具有恒定曲率 $\kappa = 1/R$ 。

\kappa(t) = \frac{\lVert \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t) \rVert}{\lVert \mathbf{r}'(t) \rVert^{3}}

公式 $\kappa(t) = \frac{\lVert \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t) \rVert}{\lVert \mathbf{r}'(t) \rVert^{3}}$ 可以直接从任意参数化计算曲率,而无需先按弧长重新参数化。在曲线的每一点,我们还可以构造一个由三个标准正交向量组成的运动标架:单位切向量 $\mathbf{T}$ 、主法向量 $\mathbf{N}$ (指向曲线弯曲的中心)以及副法向量 $\mathbf{B} = \mathbf{T}\times\mathbf{N}$ 。该标架沿曲线运动时如何旋转,由曲率 $\kappa$ 和挠率 $\tau$ 记录,后者衡量曲线偏离其密切平面扭转的程度。

\mathbf{T}' = \kappa\mathbf{N}, \quad \mathbf{N}' = -\kappa\mathbf{T} + \tau\mathbf{B}, \quad \mathbf{B}' = -\tau\mathbf{N}

大学两个基本形式与高斯曲率

定义: 第一基本形式

对于参数化曲面 $\mathbf{r}(u,v)$ ,第一基本形式 $I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$ (其中 $E = \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_u$ 、 $F = \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_v$ 、 $G = \mathbf{r}_v\cdot\mathbf{r}_v$ )告诉我们如何仅用坐标 $(u,v)$ 来测量长度、角度和面积——它完全是内蕴的,也就是说,生活在曲面上的一只蚂蚁无需离开曲面就能测量它。

I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2

定义: 第二基本形式

第二基本形式 $II = e\,du^2 + 2f\,du\,dv + g\,dv^2$ 由 $e = \mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}$ 、 $f = \mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{n}$ 、 $g = \mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}$ (其中 $\mathbf{n}$ 是单位法向量)构成,衡量曲面偏离其自身切平面的速度——它是外蕴的,因为它取决于曲面在空间中的位置。

II = e\,du^2 + 2f\,du\,dv + g\,dv^2

结合这两种形式,得到曲面最重要的局部不变量——高斯曲率 $K = \frac{eg-f^2}{EG-F^2}$ 。当 $K>0$ 时,曲面在各个方向上以相同的方式弯曲(如球面);当 $K<0$ 时,曲面在不同方向上以相反的方式弯曲(如鞍面);当 $K=0$ 时,曲面是可展的,可以展平(如圆柱或圆锥)。

K = \frac{eg-f^2}{EG-F^2}

按曲面类型划分的高斯曲率
曲面	$K$ 的符号	局部形状
半径为 $R$ 的球面	$K = 1/R^2 > 0$	在各个方向都呈碗状;曲面处处向切平面的同一侧弯曲。
平面或圆柱面	$K = 0$	可展曲面:无需拉伸即可展平。
鞍形曲面或双曲面	$K < 0$	沿一个方向向上弯曲,沿垂直方向向下弯曲;曲面穿过其切平面。

大学关键定理:Theorema Egregium 与高斯-博内

定理: Theorema Egregium(高斯绝妙定理)

曲面的高斯曲率 $K$ 完全可以由第一基本形式 $E, F, G$ 及其导数计算得到——它不依赖于第二基本形式,也不依赖于曲面在空间中的嵌入方式。因此, $K$ 在任何等距映射(即保持第一基本形式,从而保持曲面上所有长度和角度的映射)下都保持不变。

为什么成立?

这令人惊讶,因为 $K$ 最初是用第二基本形式定义的,也就是依据曲面在周围空间中如何弯曲。高斯的定理表明曲率其实是内蕴的:一个被困在曲面上、看不见周围空间的二维生物,仅靠测量长度和角度就能计算出 $K$ 。

证明

在所关注的点取 $F=0$ 的坐标系(局部总存在这样的正交参数化)。对恒等式 $\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{n}=0$ 和 $\mathbf{r}_v\cdot\mathbf{n}=0$ 求导,并利用 $e = \mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}$ 、 $g = \mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}$ ,把 $eg-f^2$ 用投影到 $\mathbf{n}$ 上的二阶导数 $\mathbf{r}_{uu}, \mathbf{r}_{uv}, \mathbf{r}_{vv}$ 表示出来。

由于 $\{\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v, \mathbf{n}\}$ 在每一点构成空间的一组基,任何二阶导数(如 $\mathbf{r}_{uu}$ )都可以写成 $\mathbf{r}_u$ 、 $\mathbf{r}_v$ 和 $\mathbf{n}$ 的组合,其中切向系数就是克里斯托费尔符号——这些函数仅由 $E, F, G$ 及其关于 $u$ 和 $v$ 的导数构成,可通过求解对 $E, F, G$ 求导得到的线性方程组获得。

把这些表达式代入 $\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{r}_{vv} - \mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{r}_{uv}$ ,并与由法向分量得到的 $eg-f^2$ 比较,再用相容性方程(高斯方程)化简,便得到布廖斯基公式: $K$ 被纯粹表示为 $E, F, G$ 及其关于 $u$ 和 $v$ 的一阶、二阶偏导数的有理函数,最终表达式中不再出现 $e, f, g$ 。

根据定义,两曲面之间的等距映射是把一个曲面的第一基本形式精确地映到另一个曲面的第一基本形式的映射(作为参数的函数, $E, F, G$ 相同);而布廖斯基公式仅由 $E, F, G$ 计算出 $K$ ,因此两曲面在对应点处必有相同的高斯曲率。定理得证。

定理: 高斯-博内定理

对于无边界的紧致可定向曲面 $M$ ,有 $\int_M K\,dA = 2\pi\chi(M)$ ,其中 $\chi(M)$ 是欧拉示性数,对 $M$ 的任意三角剖分都有 $\chi(M) = V - E + F$ (对亏格为 $g$ 的曲面也等于 $2 - 2g$ )。

为什么成立?

该定理把一个纯粹局部的几何量(曲率,可以逐点变化)与一个纯粹整体的拓扑量(欧拉示性数,只取决于曲面如何连通,而与其形状无关)联系起来。无论你如何在不撕裂曲面的前提下弯曲、拉伸或压凹它,总曲率 $\int_M K\,dA$ 始终保持不变。

证明

用测地三角形(边为曲面上最短路径的三角形)对 $M$ 进行三角剖分,得到 $V$ 个顶点、 $E$ 条边和 $F$ 个面,它们满足 $\chi(M) = V - E + F$ 。

对内角为 $\alpha,\beta,\gamma$ 的单个测地三角形 $T$ ,局部高斯-博内公式为 $\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi$ :内角和超出欧几里得值 $\pi$ 的部分恰好等于该三角形上曲率的积分,这一事实可由对沿三角形边界平行移动的切向量的旋转应用斯托克斯定理得到。

对所有 $F$ 个三角形求和 $\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi$ ,得到 $\int_M K\,dA = 2\pi V - \pi F$ :在 $V$ 个顶点中每一个顶点处相遇的三角形恰好拼成一整圈 $2\pi$ ,因此所有角之和为 $2\pi V$ ,而 $F$ 个三角形中每一个都贡献一个 $-\pi$ 。

每个三角形有 $3$ 条边,每条边恰好被 $2$ 个三角形共享,所以 $3F = 2E$ 。将 $E = \frac{3F}{2}$ 代入 $\chi(M) = V - E + F$ 得到 $2\pi\chi(M) = 2\pi V - \pi F$ ,这与前一步的结果完全吻合。因此 $\int_M K\,dA = 2\pi\chi(M)$ ,定理得证。

大学实际应用与典型例题

微分几何是一切需要表示、测量或沿曲面形状运动的技术的数学骨干。制图学每天都要面对 Theorema Egregium:由于球面 $K = 1/R^2 \neq 0$ 而平面 $K=0$ ,地球的任何平面地图都无法同时正确显示所有距离和角度,这迫使制图者必须选择接受哪种失真——面积、角度还是距离。计算机图形学和CAD系统在三维网格的每个顶点计算高斯曲率与平均曲率,以决定在何处增加细节、平滑曲面或检测制造缺陷。GPS导航与轨道力学是在地球弯曲的参考椭球面上(而非在平面地图上)计算测地线——尽可能最直的路径。建筑师利用负高斯曲率的曲面,例如双曲抛物面屋顶,因为它们是双重直纹曲面,可以用直梁搭建,同时仍能高效地承载荷载。

例题: 螺旋线的曲率与挠率

一根导线被弯成螺旋线 $\mathbf{r}(t) = (3\cos t, 3\sin t, 4t)$ 的形状,求它的曲率 $\kappa$ 与挠率 $\tau$ 。

解答

对位置向量求导: $\mathbf{r}'(t) = (-3\sin t, 3\cos t, 4)$ , $\mathbf{r}''(t) = (-3\cos t, -3\sin t, 0)$ ,以及 $\mathbf{r}'''(t) = (3\sin t, -3\cos t, 0)$ 。注意 $\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert = \sqrt{9+16} = 5$ 是一个与 $t$ 无关的常数。

计算叉积 $\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t) = (12\sin t, -12\cos t, 9)$ ,其长度为 $\sqrt{144+81}=15$ 。由曲率公式, $\kappa = \dfrac{15}{5^3} = \dfrac{15}{125} = \dfrac{3}{25}$ 。

求挠率使用 $\tau = \dfrac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot \mathbf{r}'''}{\lVert \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' \rVert^2}$ 。点积 $(12\sin t, -12\cos t, 9)\cdot(3\sin t,-3\cos t,0) = 36\sin^2 t + 36\cos^2 t = 36$ 是常数,且 $\lVert\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\rVert^2 = 225$ ,所以 $\tau = \dfrac{36}{225} = \dfrac{4}{25}$ 。

$\kappa=\dfrac{3}{25}$ 和 $\tau=\dfrac{4}{25}$ 沿整条曲线都是常数,这正是螺旋线在每一点看起来都相同的原因:它是(在刚体运动意义下)唯一具有恒定非零曲率与挠率的曲线。

例题: 球面的高斯曲率与高斯-博内检验

利用半径为 $R$ 的球面的参数化 $\mathbf{r}(u,v) = (R\cos u\sin v, R\sin u\sin v, R\cos v)$ ,验证处处有 $K=1/R^2$ ,然后对整个球面检验高斯-博内定理。

解答

计算切向量 $\mathbf{r}_u = (-R\sin u\sin v, R\cos u\sin v, 0)$ 和 $\mathbf{r}_v = (R\cos u\cos v, R\sin u\cos v, -R\sin v)$ ,得到第一基本形式系数 $E = R^2\sin^2 v$ , $F=0$ , $G=R^2$ 。

单位法向量为 $\mathbf{n} = -\mathbf{r}/R$ (指向内部),将二阶导数投影到 $\mathbf{n}$ 上,得到第二基本形式系数 $e = R\sin^2 v$ , $f = 0$ , $g = R$ 。

由高斯曲率公式, $K = \dfrac{eg-f^2}{EG-F^2} = \dfrac{R\sin^2 v \cdot R}{R^2\sin^2 v\cdot R^2} = \dfrac{1}{R^2}$ ,证实半径为 $R$ 的球面上每一点的曲率都相同。

对于高斯-博内定理,面积元为 $dA = \sqrt{EG-F^2}\,du\,dv = R^2\sin v\,du\,dv$ ,于是 $\displaystyle\int_M K\,dA = \frac{1}{R^2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi R^2\sin v\,dv\,du = 4\pi$ 。由于球面的欧拉示性数 $\chi(S^2)=2$ ,定理预测 $2\pi\chi(M) = 4\pi$ ,恰好吻合。

在曲面上某点,第一、第二基本形式的系数分别为 $E=1, F=0, G=1$ 和 $e=1, f=0, g=-1$ 。该点处的高斯曲率 $K$ 是多少?

为什么地球的任何一张平面地图都无法同时保持所有的距离和角度?

球面 $S^2$ 的欧拉示性数为 $\chi(S^2)=2$ 。根据高斯-博内定理, $\int_{S^2} K\,dA$ 等于多少?

在空间曲线的Frenet–Serret标架中,哪个向量垂直于运动方向,指向曲线瞬时弯曲的中心?

参考文献

Manfredo P. do Carmo (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces
Kristopher Tapp (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces