Theorema Egregium(高斯绝妙定理)

在所关注的点取 $F=0$ 的坐标系(局部总存在这样的正交参数化)。对恒等式 $\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{n}=0$ 和 $\mathbf{r}_v\cdot\mathbf{n}=0$ 求导,并利用 $e = \mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}$、$g = \mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}$,把 $eg-f^2$ 用投影到 $\mathbf{n}$ 上的二阶导数 $\mathbf{r}_{uu}, \mathbf{r}_{uv}, \mathbf{r}_{vv}$ 表示出来。

由于 $\{\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v, \mathbf{n}\}$ 在每一点构成空间的一组基,任何二阶导数(如 $\mathbf{r}_{uu}$)都可以写成 $\mathbf{r}_u$、$\mathbf{r}_v$ 和 $\mathbf{n}$ 的组合,其中切向系数就是克里斯托费尔符号——这些函数仅由 $E, F, G$ 及其关于 $u$ 和 $v$ 的导数构成,可通过求解对 $E, F, G$ 求导得到的线性方程组获得。

把这些表达式代入 $\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{r}_{vv} - \mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{r}_{uv}$,并与由法向分量得到的 $eg-f^2$ 比较,再用相容性方程(高斯方程)化简,便得到布廖斯基公式:$K$ 被纯粹表示为 $E, F, G$ 及其关于 $u$ 和 $v$ 的一阶、二阶偏导数的有理函数,最终表达式中不再出现 $e, f, g$。

根据定义,两曲面之间的等距映射是把一个曲面的第一基本形式精确地映到另一个曲面的第一基本形式的映射(作为参数的函数,$E, F, G$ 相同);而布廖斯基公式仅由 $E, F, G$ 计算出 $K$,因此两曲面在对应点处必有相同的高斯曲率。定理得证。