积分判别法

第一步(用积分的一条带来夹住每一项)。由于$f(x)$是递减的,对任意整数$n\ge1$及$x\in[n,n+1]$都有$f(n+1)\le f(x)\le f(n)$。在该单位区间上积分,得到$f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n)$。

第二步(将不等式求和)。对$n=1,\dots,N$求和右侧不等式,得到$\int_1^{N+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=1}^{N}a_n=S_N$;对$n=1,\dots,N-1$求和左侧不等式,得到$S_N-a_1\le\int_1^{N}f(x)\,dx$。因此部分和$S_N$被夹在两个都随$[1,N]$增长的积分之间。

第三步(收敛性单向传递)。若$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$收敛,则当$N\to\infty$时$\int_1^{N}f(x)\,dx$有上界,由第二步,递增数列$S_N$有上界,而实数中有界的递增数列必收敛($\mathbb{R}$单调收敛性质的一种体现);因此$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛。

第四步(发散性反向传递)。反之,若$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$发散(无限增长),则当$N\to\infty$时$\int_1^{N+1}f(x)\,dx\to\infty$,由第二步中的第一个不等式,$S_N$被一个趋于无穷的量从下方夹住,故$S_N$也发散到无穷。结合第三步与第四步即得完整的'当且仅当'。